Des degrés aux radians

Définition :
La radian est une unité permettant de mesurer un angle au centre dans un cercle, quand cet angle intercepte un arc de même longueur que le rayon de ce cercle.

Mesure d'un angle en radians

Pour convertir des degrés en radians (ou inversement), on utilise le fait que : pi radians=180 degrés.
Exemple : convertir 60° en radians.
Il suffit de réaliser un produit en croix :
180*x=60*pi
x=(60/180)*pi=pi/3 radians

La mesure en radians d'un angle de 60° est pi/3 radians en cours de math.

Valeurs importantes en radians :
En seconde, il faut connaître les mesures en radians des angles les plus souvent rencontrés.
0 degrés=0 radians
30 degrés=pi/6 radians
45 degrés=pi/4 radians
60 degrés=pi/3 radians
90 degrés=pi/2 radians
180 degrés=pi radians

Mesure principale d'un angle

Définition :
Un angle a plusieurs mesures en radians qui diffèrent entre elles d'un multiple de 2pi. La mesure principale d'un angle est la mesure en radians qui appartient à l'intervalle ]-pi ;pi]
Exemple :
Déterminer la mesure principale d'un angle qui mesure (9pi)/2 radians.
Soit
(9pi)/2=(8pi)/2+pi/2
=4pi+pi/2
=2*2pi+pi/2
Donc la mesure principale de l'angle est pi/2 car pi/2 appartient à ]-pi ;pi] et que 2pi=360=un tour complet. Donc on ne tient pas compte de 2*2pi qui constituent deux tours complets du cercle et donc ne changent pas l'angle final obtenu.

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C'est parti

Angles et cercle trigonométrique

Définition :
Soit (O,i,j) un repère orthonormé du plan. Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O, de rayon 1 et orienté dans le sens inverse du sens des aiguilles d'une montre.

Mesure d'un angle sur le cercle trigonométrique

sur le cercle trigonométrique, on part du point O et l'on se déplace autour du cercle.

NB :
1 quart de tour=pi/2 radians (90°)
1 demi tour=pi radians (180°)
1 tour complet= 2pi radians (360°)
2 tours=4pi (720°)
etc…

Cosinus et sinus sur le cercle trigonométrique

L'axe horizontal est l'axe des cosinus et l'axe vertical est celui des sinus. Donc pour tout point M placé sur le cercle on peut lire ses coordonnées sachant que les valeurs prises sur chaque axe sont comprises dans l'intervalle [-1 ;1]
D'après le théorème de Pythagore, on a :
sin²(a)+cos²(a)=OM²
On retrouve donc la propriété suivante:
sin²(a)+cos²(a)=1 car le rayon est égal à 1 (OM=1)

Relations trigonométriques entre les sinus et cosinus

- Angles supplémentaires :
Cos(pi-x)=-cos( x)
Sin(pi-x)=sin( x)

-Angles de différence pi:
cos(pi+x)=-cos( x)
sin(pi+x)=-sin( x)

- Angles complémentaires
cos((pi/2)-x)=sin(x)
sin((pi/2)-x)=cos(x)

- Angles opposés:
cos(-x)=cos(x)
sin(-x)=-sin( x)

Remarque:
On retrouve ces différentes relations en plaçant les différents angles sur le cercle trigonométrique.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !