Indépendance en probabilités 

On dit que deux événements A et B sont indépendants en probalités si la probabilité qu'il surviennent simultanément est égale au produit des probabilités de chacun d'eux. Autrement dit, si P(A ∩ B)=P(A)*P(B).

Cette définiton peut  se généraliser à N événements. Ainsi, Si N expériences aléatoires sont indépendantes, alors pour tous les événements A1, A2, ... , AN  de chacun des univers associés à ces épreuves, on a P(A1.∩....∩AN)= P(A1)*...*P(AN).

Exemple:

Dans une classe de trentes élèves, on aimerait savoir si les élèves "matheux" sont meilleurs en sport que les "non-matheux". Un élève est déclaré matheux s'il a obtenu au mimimum 15 de moyenne en maths, sportif lorsqu'il a obtenu au moins 14 de moyenne en éducation physique et sportive.

La classe compte au total 20 sportifs et 18 matheux . Sur le 30 élèves, 12  sont à la fois sportifs et matheux.

On choisit un élève au hasard et on considère les événements suivants:

S: "l'élève choisit est sportif"

M: "l'élève choisit est matheux" 

 On a P(S)=20/30=2/3 , P(M)=18/30=3/5 et P(S ∩M)=12/30=2/5.

Ainsi, les événements S et M sont indépendants car P(S ∩M)= P(S)*P(M).

En choisissant un élève matheux au hasard, la probabilité que celui-ci soit sportif est de 12/18=2/3.

En en prenant un non matheux, la probabilité que celui-ci soit sportif est de 8/12=2/3. 

En conclusion, dans cette classe, les matheux ne sont  ni plus ni moins sportifs que les autres.

Dans ce type de raisonnement qui ne dit pas sont nom, on a utilisé sans même le savoir, les probabilités conditionnelles.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !