Définition

-on admet que i^2= -1
-Un nombre complexe (noté z le plus souvent) est un nombre de la forme x + iy, avec x qui est la partie réelle et y la partie imaginaire.
z = z'(avec z = x + iy et z' = x' + iy') si on a x = x' et y = y'

Les meilleurs professeurs de Maths disponibles
1er cours offert !
Houssem
5
5 (105 avis)
Houssem
70€
/h
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (78 avis)
Anis
80€
/h
1er cours offert !
Greg
5
5 (95 avis)
Greg
120€
/h
1er cours offert !
Laurent
4,9
4,9 (86 avis)
Laurent
50€
/h
1er cours offert !
Grégory
5
5 (83 avis)
Grégory
105€
/h
1er cours offert !
Ahmed
4,9
4,9 (78 avis)
Ahmed
40€
/h
1er cours offert !
Jean-charles
5
5 (20 avis)
Jean-charles
20€
/h
1er cours offert !
Pierre-thomas
5
5 (40 avis)
Pierre-thomas
80€
/h
1er cours offert !
Houssem
5
5 (105 avis)
Houssem
70€
/h
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (78 avis)
Anis
80€
/h
1er cours offert !
Greg
5
5 (95 avis)
Greg
120€
/h
1er cours offert !
Laurent
4,9
4,9 (86 avis)
Laurent
50€
/h
1er cours offert !
Grégory
5
5 (83 avis)
Grégory
105€
/h
1er cours offert !
Ahmed
4,9
4,9 (78 avis)
Ahmed
40€
/h
1er cours offert !
Jean-charles
5
5 (20 avis)
Jean-charles
20€
/h
1er cours offert !
Pierre-thomas
5
5 (40 avis)
Pierre-thomas
80€
/h
1er cours offert>

Calcul avec les nombres complexes

(le conjugué d' un nombre complexe z est notée Z = x - iy)

De ce fait, on a donc :
a) z-Z = 2iy
b) Z*z = x^2 + y^2
c) z est réel si z = Z
d) z est imaginaire pur si Z = -z
e) z + z' = (x + x') + i(y + y')
f) z*z' = (xx' + yy') + i(xy' - x'y)
g) les identités remarquables sont aussi valables avec des nombres complexes.
h) le conjugué de la somme de deux complexes est la somme des conjugués de chaque complexe, de même pour un produit ou un quotient.

Formes géométriques 

- on a z = x + iy
- M d' affixe z est le point de coordonnée (x,y)
- l' affixe du vecteur MM' est l' affixe de M'- l' affixe de M
- le module de M d' affixe z (notée z) est égale au radical de x^2 + y^2, de plus le module de z est la distance de M au point origine du repère.
- Le module d' un produit (ou d' un quotient) est le produit (ou quotient) des modules.
- Dans un repère (o, vecteur u, vecteur v)
L' argument de z est la mesure en radians le l' angle orientés (vecteur u, vecteurOM)
La forme géométrique de z est donc z = z(cosØ + isinØ) avec Ø = arg(z)
Arg(z*z') = arg(z) + arg(z') + 2kpi
Arg(1/z) = -argz + 2kpi
Arg(z/z') = arg(z) - arg(z') + 2kpi
Arg(z^n) = (arg(z))*n
Formule de Moivre (cos(Ø) + isin(Ø))^n = cos(nØ) + isin(nØ)

Forme exponentielle 

- Pour tout réel Ø, on pose e^(iØ) = cosØ + i(sinØ)
- un nombre complexe s' écrit donc z=ze^iØ (avec Ø=arg(z)
- Formule d' Euler:
cosØ = 0.5 * (e^iØ + e^-iØ)
sinØ = (1/2i) * (e^iØ - e^-iØ)

Complexes et géométrie 

on considère le repère (o, vecteur U, vecteur V)
Arg(zb-za) = (vecteur U, vecteur AB) + 2kpi
Arg((zb-zc) / (za-zc)) = (vecteur CA, vecteur CB) + 2kpi
Transformation :
- Translation de vecteur AB :
z' = z + a (avec a l' affixe du vecteur AB)
- rotation de centre o et d' angle Ø:
z' = e^iØz

Besoin d'un professeur de Maths ?

Vous avez aimé l’article ?

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) 5,00/5 - 1 vote(s)
Loading...

Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !