EXERCICE 1

Commun à tous les candidats
Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a à 3. d sont proposées
ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l’affirmation,
et avec le plus grand soin, lamention VRAI ou FAUX.
Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1
point. Il n’est pas tenu compte de l’absence de réponse. Un éventuel total négatif est
ramené à 0.
1. Pour tout réel x, ex désigne l’image de x par la fonction exponentielle.
Affirmation 1. a Pour tous les réels a et b : (ea)b = eab.
Affirmation 1. b Pour tous les réels a et b : ea−b =
ea
eb .
Affirmation 1. c La droite d’équation y = x +1 est la tangente à la courbe représentative
de la fonction exponentielle en son point d’abscisse 1.
2. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un
élément de I.
Affirmation 2. a Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Affirmation 2. b Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.
Affirmation 2. c Si f est dérivable en a, alors la fonction h →
f (a +h)− f (a)
h
admet une limite finie en 0.
3. On considère deux suites (un) et (vn) définies sur N.
Affirmation 3. a Si limun =+∞et si lim vn =−∞alors lim(un +vn) = 0.
Affirmation 3. b Si (un) converge vers un réel non nul et si lim vn =+∞,
alors la suite un, ×vn ne converge pas.
Affirmation 3. c Si (un) converge vers un réel non nul, si (vn) est positive et
si lim vn = 0, alors la suite un
vn  ne converge pas.
Affirmation 3. d Si (un) et (vn) convergent alors la suite un
vn  converge.

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EXERCICE 2

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe estmuni d’un repère orthonormal direct O, −→u , −→v . On prendra
pour unité graphique 5 cm.
On pose z0 = 2 et, pour tout entier naturel n, zn+1 =
1+i
2
zn. On note An le point du
plan d’affixe zn.
1. Calculer z1, z2, z3, z4 et vérifier que z4 est un nombre réel.
Placer les points A0 A1, A2, A3 et A4 sur une figure.
2. Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn|.
Justifier que la suite (un) est une suite géométrique puis établir que, pour tout
enfler naturel n,
un = 2 1
2n
.
3. À partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de
centre O et de rayon 0,1 ?
Baccalauréat S
4. a. Établir que, pour tout entier naturel n,
zn+1−zn
zn+1 = i.
En déduire la nature du triangle OAn An+1.
b. Pour tout entier naturel n, on note n la longueur de la ligne brisée
A0A1A2 . . . An−1An.
On a ainsi : n = A0A1 + A1A2 +. . .+ An−1An.
Exprimer n, en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (n) ?
EXERCICE 2 4 points
Candidat ayant suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O, −→u , −→v . On prendra
5 cmpour unité graphique.
Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M d’affixe z
définie par :
z = 1
2 +
1
2
iz +1.
1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centreΩ (d’affixe
ω), le rapport k et l’angle θ.
2. On note A0 le point O et, pour tout entier naturel n, on pose An+1 = f (An).
a. Déterminer les affixes des points A1 A2, A3 puis placer les points A0 , A1, A2
et A3.
b. Pour tout entier naturel n, on pose un = ΩAn. Justifier que la suite (un)
est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n,
un =2 1
2n
.
c. À partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque
de centre O et de rayon 0,1 ?
3. a. Quelle est la nature du triangle OA0A1 ?
En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangle OAn An+1.
b. Pour tout entier naturel n, on note n la longueur de la ligne brisée
A0A1A2 . . . An−1An. Onaainsi : n = A0A1+A1A2+. . .+An−1An. Exprimer
n en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (n) ?

EXERCICE 3

Commun à tous les candidats
L’espace est muni d’un repère orthonormal O, −→ı , −→ , −→k .
Partie A
(cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)
Soit a,b,c et d des réels tels que (a, b, c) = (0, 0, 0).
Soit P le plan d’équation ax +by +cx +d = 0.
On considère le point I de coordonnées x1, y1, z1 et le vecteur −→n de coordonnées
(a, b, c).
Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à

ax1 +by1 +cz1 +d a2 +b2 +c2
.
1. Soit ∆ la droite passant par I et orthogonale au plan P .
Déterminer, en fonction de a, b, c, x1, y1 et z1, un système d’équations paramétriques
de ∆.
2. On note H le point d’intersection de ∆ et P .
a. Justifier qu’il existe un réel k tel que −−→ IH = k−→n .
b. Déterminer l’expression de k en fonction de a, b, c, d, x1, y1 et z1.
c. En déduire que IH = 
ax1 +by1 +cz1 +d a2 +b2 +c2
.
Partie B
Le plan Q d’équation x − y +z −11 = 0 est tangent à une sphère S de centre le
point Ω de coordonnées (1, −1, 3).
1. Déterminer le rayon de la sphère S .
2. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite ∆ passant par
Ω et orthogonale au plan Q
3. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la sphère S et du plan
Q.

EXERCICE 4

Commun à tous les candidats
Les parties A et B sont indépendantes.
Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble
en voie de disparition.
Partie A
En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l’effectif
initial est égal à mille.
Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d’individus, est approché
par une fonction f du temps t (exprimé en années à partir de l’origine 2000).
D’après le modèle d’évolution choisi, la fonction f est dérivable, strictement positive
sur [0 ; +∞[, et satisfait l’équation différentielle :
(E) y =−
1
20
y(3−ln y).
1. Démontrer l’équivalence suivante : Une fonction f , dérivable, strictement positive
sur [0 ; +∞[, vérifie, pour tout t de [0 ; +∞[, f (t )=−
1
20
f (t )[3−ln f (t )]
si et seulement si la fonction g = ln( f ) vérifie, pour tout t de [0 ; +∞[,
g (t ) =
1
20
g (t )−
3
20
.
2. Donner la solution générale de l’équation différentielle :
(H) z =
1
20
z −
3
20
.
3. En déduire qu’il existe un réel C tel que, pour tout t de [0 ; +∞[
f (t ) = exp3+Cexp t
20     .
(la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle x →ex ).
4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction f définie par :
f (t )= exp3−3exp t
20     .
a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
Pondichéry 3 3 avril 2006
Baccalauréat S
b. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; +∞[.
c. Résoudre dans [0 ; +∞[ l’inéquation f (t )< 0,02.
Au bout de combien d’années, selon ce modèle, la taille de l’échantillon
sera-t-elle inférieure à vingt individus ?
Partie B
En 2005, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de lamaladie
responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : « La
population testée comporte 50% d’animaux malades. Si un animal est malade, le
test est positif dans 99% des cas ; si un animal n’est pas malade, le test est positif
dans 0,1% des cas ».
On note M l’évènement « l’animal est malade », M l’évènement contraire et T l’évènement
« le test est positif ».
1. Determiner P(M), PM(T ), PM(T ).
2. En déduire P(T ).
3. Le laboratoire estime qu’un test est fiable, si sa valeur prédictive, c’est-à-dire
la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure
à 0,999. Ce test est-il fiable ?

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !