Exercice

Dans une entreprise, on a modélisé le bénéfice réalisé, en
milliers d'euros, pour la vente de x centaines d'appareils par la
fonction f définie sur l'intervalle ] 0 ; +
[ par :
f(x) = -2x + (e² - 1) ln x + 2
La courbe de la fonction f est donnée sur la figure ci-dessous :

1. Vérifier par le calcul que f(l) = 0 et f ( e²
) = 0.
2. A l'aide du graphique, déterminer approximativement :
a) le nombre d'appareils que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser
un bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice ;
b) les valeurs de x pour lesquelles le bénéfice réalisé est
positif ou nul.
3. a) Déterminer la dérivée f ' de la fonction f sur
l'intervalle ] 0 ; +
[.
b) Etudier le signe de f ' (x) et en déduire le sens
de variation de la fonction f
c) En déduire le nombre d'appareils vendus par cette entreprise quand
elle réalise le bénéfice maximal (le résultai sera arrondi à l'unité).
4. Parmi les courbes données en annexe, une seule correspond à celle
d'une primitive de f
Déterminer la courbe qui convient, en expliquant votre choix (on pourra
s'appuyer sur le signe de f(x))
5. En utilisant le résultat de la question précédente, en déduire,
par une lecture graphique, une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire
du domaine hachuré dans la figure ci- dessus.
6. a) Démontrer que la fonction F définie sur l'intervalle ] 0 ;
+ [ par :
F(x) = x² + (3- e²) x + (e² -
1) x ln x est une primitive de f.
b) Déterminer la valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise sur l'intervalle
où ce bénéfice est positif ou nul.
annexe ( les courbes ne sont pas exactement les mêmes que sur
l'original mais j'ai essayé de faire correspondre le plus possible
...)
Courbe de F1 :

Courbe de F2 :

Courbe de F3 :

Correction

1. f (l) = -2 + (e² - 1) ln 1 +
2 = -2 + 0 + 2 = 0
f ( e² ) = -2e² + (e² - 1) ln
e² + 2 = -2e² + (e² - 1)2 ln e
+ 2 = -2e² + (e² - 1)2 + 2 =
-2e² + 2e² - 2 + 2 = 0
2. a) sur la courbe, f admet comme maximum absolu 3
pour x = 3,2
Donc le nombre d'appareils que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser
un bénéfice maximal est de 320
et le montant du bénéfice maximum est de 3000 €.
b) les valeurs de x pour lesquelles le bénéfice réalisé est
positif ou nul appartiennent à l'intervalle [1 ; e²]
Entre 100 et 739 appareils fabriqués , le bénice est positif.
3. a)

b)

On en déduit les variations de f :

c)

le bénéfice maximum est de 3031 € pour 319 appareils.

4.
f(x) > 0 pour x appartenant à ]1 ; e²[
sinon f(x)
0 , donc la fonction primitive de f doit être croissante sur l'intervalle
]1 ; e²[, la seule courbe convenable est donc la courbe de la
fonction F2.

5. Avec la précision permise par la figure:

6. a)

donc F est une primitive de f sur ] 0 ; +
[
b)

La valeur moyenne du bénéfice est donc de 2000 €.

 

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Clément M

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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