Chapitres

Exercice

On considère la fonction f définie pour tout x

par : f(x) = (x² + x + l)ex
.
Dans le repère orthonormal d'unité
graphique 2 cm sur chaque axe, on note Cf sa représentation
graphique et Cexp la représentation graphique de la fonction
exponentielle.
l.a. Déterminer la limite de f en + .
b. Donner les valeurs de

c. En déduire que

Que peut-on en déduire graphiquement ?
2.a. On note f ' la fonction dérivée de f
sur , montrer que
f ' (x) = (x + l)(x + 2)ex
.
b. Etudier le signe de f ' (x) sur
c. En déduire le tableau de variations de la fonction f
3. Déterminer le signe de f sur .
4.a. Préciser les positions relatives de Cf
et de Cexp.
b. Construire ces deux courbes dans le repère .
5. Soit F la fonction définie pour tout x
par : F(x) = (x²
- x + 2)ex .
Prouver que F est une primitive de f sur
6.a. Déterminer la valeur exacte de l'aire en cm² du
domaine D délimité par la courbe Cf, l'axe
des abscisses et les droites d'équations x = - 1 et x =
0.
b. Déterminer la valeur exacte de l'aire en cm² du domaine
D' délimité par les courbes Cf et Cexp
, et les droites d'équations x = -1 et x = 0.

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Correction

l.a.

b.

c.

La droite d'équation y = 0 est asymptote à la courbe représentative
Cf en -
2.a.

b. f ' (x) est du signe de (x + l)(x
+ 2) car ex > 0 sur
le polynôme (x + l)(x + 2) a deux racines réelles
distinctes -2 et -1 et son signe est positif à l'extérieur
des racines.
c.

3. D'après le tableau de variation f (x) >
0 sur
4.a.

f (x) - ex est donc du signe de x(x
+ 1)

sur l'intervalle ] -
; - 1 ] la courbe Cf est au dessus de Cexp
sur l'intervalle [-1 ; 1 ] la courbe Cf est en dessous
de Cexp
sur l'intervalle [1 ; +
[ la courbe Cf est au dessus de Cexp
b.

5. Pour tout x
par : F'(x) =
(2x - 1)ex + (x² - x + 2)ex
= (x² - x + 2 +2x - 1) ex =

(x² + x +1) ex = f(x)
donc F est une primitive de f sur .

6.a. Sur l'intervalle [-1 ; 0] la courbe Cf est
au dessus de l'axe des abscisses donc l'aire de D est donné en unité
d'aire par :

b. Sur l'intervalle [-1 ; 0] la courbe Cf est au
dessous de courbe Cexp donc l'aire de D' est donné
en unité d'aire par :

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !