Tout comme les fonctions, les suites peuvent posséder une limite. Nous allons voir leurs caractéristiques.

Suites convergentes

Pour voir ces suites, on va tout d'abord prendre un exemple concret.

Soit la suite (Un) définie par Uo = 1 et Un+1 = (Un+8)/(2Un+1).

Si l'on prend sa calculatrice, on se rend compte qu'à partir du rang 2
(c'est à dire à partir de n = 2), la suite se rapproche de plus en plus
d'une valeur (ici : 2) lorsque n tend vers plus l'infini : c'est à dire
que plus n est grand (il tend vers plus l'infini), plus la suite tend
vers 2:

on dit que la suite (Un) converge vers 2, ou que la limite de
la suite est 2 lorsque n tend vers plus l'infini.

On note :

lim Un = 2
n--> +oo

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Théorème

Soit une suite (Un) qui converge vers l (l est un réel), une suite (Vn) qui converge vers l'.

La suite (Wn) définie par Wn = Un + Vn converge vers l + l';
La suite (Pn) définie par Pn = Un x Vn converge vers l x l';
Pour tout réel k, (kUn) converge vers kl;
Si tous les termes de (Vn) sont strictement positifs, alors (Tn) définie par Tn= Un/Vn converge vers l/l'

Le théorème des "gendarmes"

Soient trois suites (Un), (Vn) et (Wn). Si pour tout entier naturel n supérieur à un entier naturel n0 :

Vn < Un < Wn

et si les suites (Vn) et (Wn) convergent vers une limite commune l, alors (Un) converge vers l.

La suite (Un) définie par Un = sin(n)/n est convergente

-1< sin(n) <1

-1/n < sin(n)/n < 1/n

-1/n converge vers 0

1/n converge vers 0

donc sin(n)/n converge vers 0

Limite d'une suite géométrique

Soit un réel q différent de 1.

Si q > 1, alors lim q^n = +oo
n-> +oo

Si q < 1, alors lim q^n = 0
n-> +oo

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !