Introduction

Après le théorème de Pythagore, le théorème que l'on apprend en mathématiques est celui de Thalès. Grand mathématicien et philosophe grec de la Grèce Antique, Thalès de Milet a permis de nombreuses avancées en mathématiques mais aussi en physique, en cosmologie ou encore en astronomie. Étudions aujourd'hui son théorème-phare, le fameux théorème de Thalès !

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Énoncé

Comment utiliser le théorème de Thalès ?
Commençons par découvrir ce qu'est le théorème de Thalès.

Le théorème de Thalès permet de déterminer la longueur d'un segment.

Commençons par l'énoncer :

Soient (d) et (d') deux droites sécantes au point A. Les points B et C sont deux points distincts de la droites (d), distincts de A. Les points F et E sont deux points distincts de la droite (d'), distincts de A. Si les droites (BE) et (CF) sont parallèles alors les longueurs des triangles ACF et ABE sont proportionnelles.

Cela correspond au tableau de proportionnalité suivant :

Longueurs du triangle ABEABAEBE
Longueurs du triangle ACFACAFCF

Cela revient à dire que l'on a

    \[\frac{BE}{CF}=\frac{BA}{CA}=\frac{EA}{FA}\]

ou encore

    \[\frac{CF}{BE}=\frac{CA}{BA}=\frac{FA}{EA}\]

Cela implique alors trois cas de configurations possibles :

Quels sont les configurations possibles pour le théorème de Thalès ?
On a bien le point A l'intersection des droites (BC) et (EF). De plus, les droites (BE) et (CF) sont parallèles.

Lorsque le théorème est vérifié, on observe que les triangles ACF et ABE sont semblables.

En effet, selon les configurations, le triangle ABE est une réduction ou un agrandissement du triangle ACF. Le coefficient d'agrandissement ou de réduction, noté a, est

    \[a=\frac{BE}{CF}=\frac{BA}{CA}=\frac{EA}{FA}\]

De même, le triangle ACF est une réduction ou un agrandissement du triangle ABE. Le coefficient, noté b, est

    \[b=\frac{CF}{BE}=\frac{CA}{BA}=\frac{FA}{EA}\]

Par ailleurs, il est toujours vrai que : si (BC) et (EF) sont deux droites sécantes au point A et si

    \[\frac{CA}{BA} \neq \frac{FA}{EA}\]

alors les droites (BE) et (CF) ne sont pas parallèles. On appelle ça la contraposée du théorème de Thalès.

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Réciproque

Qu'est ce que la réciproque du théorème de Thalès ?
Étudions maintenant la réciproque du théorème de Thalès.

La réciproque du théorème de Thalès permet de montrer que deux droites sont parallèles.

Énonçons cette réciproque :

Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A. Les points B et C sont deux points distincts de la droites (d), distincts de A. Les points F et E sont deux points distincts de la droite (d'), distincts de A.

Si les points A, C, B d'une part, et A, F, E d'autre part, sont alignés dans le même ordre et si

    \[\frac{BA}{CA}=\frac{EA}{FA}\]

alors les droites (BE) et (CF) sont parallèles.

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Exercices

Regardons différents exemples où intervient le théorème de Thalès ou sa réciproque.

  • Exercice 1 :

Soient deux droites (BD) et (CE) sécantes en A comme représentées ci-dessous. On admet que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

Comment mesurer la longueur d'un côté ?
On observe que l'on a une des configurations du théorème de Thalès. Ici, AC=4cm, AE=6cm et BC=3,7cm et les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

Combien mesure le segment [DE] ?

On cherche la longueur d'un segment. Avec un tel schéma, on pense immédiatement au théorème de Thalès. Les hypothèses sont elles vérifiées ?

On a deux droites (BD) et (CE) qui sont sécantes en A. Les points A, B et D sont distincts. De même, les points A, C, E sont distincts. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Les hypothèses du théorème sont vérifiées donc d'après le théorème de Thalès, on a

    \[\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}\]

En remplaçant par les valeurs connues, on obtient

    \[\frac{AB}{AD}=\frac{4}{6}=\frac{3,7}{DE}\]

On fait bien attention de n'utiliser que des valeurs dans la même unité. Dans le cas contraire, on les convertit toutes dans la même unité.

Par un produit en croix, on a

    \[DE=\frac{3,7\times6}{4}=5,55\]

Donc, la longueur DE mesure 5,55cm.

  • Exercice 2 :

Soit le triangle EFG. On effectue une réduction de rapport k=0,3 du triangle EFG telle que E soit un sommet du triangle réduit. On note H et I les sommets du triangle réduit appartenant respectivement aux droites (EF) et (EG). On suppose que FG=5cm. Déterminer la longueur du segment [IH].

Suite à la réduction, nous sommes dans la configuration du théorème de Thalès. En effet, les droites (FH) et (IG) sont sécantes en E et les droites (HI) et (FG) sont parallèles. Il est possible de faire un schéma pour comprendre.

EHI est une réduction du triangle EFG. Le coefficient de réduction est k=0,3.

Alors par le théorème de Thalès on a :

    \[k=\frac{EH}{EF}=\frac{HI}{FG}=\frac{EI}{EG}\]

Ainsi, en remplaçant, on obtient

    \[0,3=\frac{EH}{EF}=\frac{HI}{5}=\frac{EI}{EG}\]

Par un produit en croix, on en conclut que

    \[HI=0,3\times 5=1,5\]

Donc le segment [HI] mesure 1,5cm.

  • Exercice 3 :

Soient SJK et SLM deux triangles tels que SJ=2m, SK=300cm, SM=1000cm et LS=8m. Les points S, K et M sont alignés dans l'ordre et les points S, J et L également.

Les droites (LM) et (JK) sont elles parallèles ?

Dans ce genre d'exercice, il ne faut pas hésiter à faire un schéma. Ici, nous avons deux triangles avec un sommet commun, nous sommes donc dans une configuration de théorème de Thalès.

Nous souhaitons étudier si les droites (LM) et (JK) sont parallèles.

On regarde si

    \[\frac{SJ}{SL}=\frac{SK}{SM}\]

Nous devons mettre toutes les valeurs dans la même unité. Le plus simple et de mettre toutes les valeurs en mètre. Donc SK=3m et SM=10m

Avec nos valeurs,

    \[\frac{SJ}{SL}=\frac{2}{8}=0,25\]

et

    \[\frac{SK}{SM}={3}{10}=0,3\]

Donc

    \[\frac{SJ}{SL} \neq \frac{SK}{SM}\]

Donc les droites (LM) et (JK) ne sont pas parallèles d'après le théorème de Thalès.

  • Exercice 4 :

Soient les droites (TS) et (UV) sécantes au point W comme ci dessous :

Comment montrer que deux droites sont parallèles ?
Ceci est un schéma, il n'est pas réalisé en vraie grandeur. Cependant, il nous permet de constater que nous sommes dans l'une des configurations du théorème de Thalès.

On sait que TS=2cm, SW=5cm, UV=4cm et UW=14cm. Montrer que les droites (SV) et (TU) sont parallèles.

Pour montrer que des droites sont parallèles, on peut essayer d'utiliser la réciproque du théorème de Thalès.

En effet, W, S et T sont alignés dans l'ordre et W, V et U également.

On doit alors regarder si

    \[\frac{WT}{WS}=\frac{WU}{WV}\]

Il nous manque les grandeurs WT et WV que nous devons déterminer.

    \[WT=WS+ST=5+2=7\]

De même,

    \[WV=WU-UV=14-4=10\]

WT=7cm et WV=10cm.

Nous pouvons maintenant remplacer par les valeurs :

    \[\frac{WT}{WS}=\frac{7}{5}=1,4\]

De même,

    \[\frac{WU}{WV}=\frac{14}{10}=\frac{7}{5}=1,4\]

On a bien

    \[\frac{WT}{WS}=\frac{WU}{WV}\]

Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (SV) et (TU) sont parallèles.

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