Développements

Définition :
Développer un calcul signifie faire disparaître les parenthèses en
effectuant les multiplications. Pour cela, on applique la
distributivité :

a*(b+c)=a*b+a*c
=ab+ac

(a+b)*(c+d)= (a+b)(c+d)
=a*c+a*d+b*c+b*d
= ac+ad+bc+bd

Exemples numériques:

a)
(8x+3)(-2x+1)
=8x*(-2x)+8x*1+3*(-2x)+3*1
=-16x²+8x-6x+3
=-16x²+2x+3

b)
4(x-3)(2x+5)
=(4x-12)(2x+5)
=4x*2x+4x*5-12*2x-12*5
=8x²+20x-24x-60
=8x²-4x-60

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Factorisations

Définition :
Factoriser signifie faire apparaître un produit de facteurs, c'est à
dire transformer une somme algébrique en une suite d'éléments
multipliés ensemble :

ab+ac+ad=a(b+c+d)

Exemples numériques:

(x+2)(x-5)-(2x+6)(x+2)
On remarque qu'un facteurs identique apparaît deux fois c'est « (x+2) », on va donc pouvoir le mettre en facteur :
=(x+2)[(x-5)-(2x+6)]
=(x+2)[x-5-2x-6]
=(x+2)(-x-11)
on peut également l'écrire sous cette forme :
=-(x+2)(x+11)

Méthode pratique pour factoriser un calcul :

Exemple:
A=(x+2)(2x+3)+4(x-5)(x-2)

Etape 1: repérer le nombre de membres du calcul.

Ici il y a deux membres :
1er membre c'est :
« (x+2)(2x+3) »
2ème membre c'est :
« 4(x-5)(x-2) »

Etape 2 : Chercher le facteur commun à chaque membres

Ici ce facteur commun est
« (x-2) »

Etape 3 : Mise en facteur. On place le facteur commun en tête de calcul,
multiplié à un crochet contenant les éléments restant de chaque membre.

Astuce : Il suffit de barrer le facteur commun dans l'expression et de
recopier dans l'ordre ce qu'il reste y compris les signes de l'addition
et de soustraction.

A=(x-2)[(2x+3)+4(x-5)]
=(x-2)[2x+3+4x-20]
=(x-2)(6x-17)

Remarque:

Une fois la factorisation effectuée, le facteur commun n'apparaît plus
qu'une fois pour l'ensemble du calcul, au lieu d'une fois dans chaque
membre.
Le résultat est une suite de parenthèses multipliées entre elles. On a donc bien factorisé le calcul.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !