Pour débuter simplement : comprendre les ensembles de nombres

Comment être bon en maths ?
Les mathématiques sont la base de toute les sciences.

Définitions

N désigne l’ensemble des entiers naturels, on écrit N = {0, 1, 2, . . .}.
Z désigne l’ensemble des entiers relatifs, on écrit Z = {. . . ; −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Q désigne l’ensemble des nombres rationnels : Q = { a/b ; a ∈ Z, b ∈ N∗ }.
R désigne l’ensemble des nombres réels, on a : R∗ = R{0}.
R+ = {x ∈ R; x > 0} et R− = {x ∈ R; x 6 0}.
Tout élément appartenant à R et n’appartenant pas à Q est appelé irrationnel (√2 ∈ RQ signifie que √2 est un irrationnel).
C désigne l’ensemble des nombres complexes : C = {a + ib ; a ∈ R et b ∈ R} avec i² = −1

Exemples

  • 0, 1, 2 sont des entiers naturels.
  • -3, -2, 6 sont des entiers relatifs.
  • 1/3 , 1/2 , −1, 2 sont des nombres rationnels.
  • π, √2, e sont des nombres irrationnels.
  • 1 + i, j = (1 + i√3) / 2 sont des nombres complexes.

Remarque

Remarque : on a les inclusions suivantes : N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R, R ⊂ C

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C'est parti

Poursuivre avec l'ensemble des entiers naturels

Comment fonctionne la fonction logarithme ?
Pour réussir en maths, il faut comprendre les opérations les plus basiques avant d'étudier les plus complexes.

En Mathématiques, on suppose connu l’ensemble des entiers naturels ainsi que les opérations de base sur les nombres entiers naturels. Un principe très important portant sur l’ensemble des entiers naturels est le principe
de récurrence, nous allons dans la suite du cours décrire les principaux raisonnements permis par la
récurrence.

Le principe de récurrence est ici considéré comme un axiome, il équivaut à une propriété caractéristique de l’ensemble N des entiers naturels que nous n’exposerons pas ici.

Récurrence faible

Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) est vraie et si pour tout entier naturel n > n0, la véracité de P(n) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.

Remarque

On s’efforcera de rédiger une démonstration par récurrence en distinguant bien les trois étapes nécessaires à la preuve de la propriété, ces étapes sont l’initialisation, l’hérédité et la conclusion, cette dernière étant souvent "oubliée" mais pourtant incontournable, vous voilà prévenus !

Exemple

Démontrons par récurrence que pour tout entier n > n0, P(n) vraie.

Initialisation : P(n0) vraie, en effet : . . .

Hérédité : soit n > n0, supposons P(n) vraie, . . ., donc P(n + 1) vraie.

Conclusion : la propriété étant initialisée et héréditaire, on conclut par récurrence que : ∀n > n0, P(n).

Récurrence forte

Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) est vraie et si la véracité des propriétés P(n0), P(n0 + 1), . . . , P(n) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.

Récurrence à deux pas

Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n et n0 un entier naturel, si P(n0) et P(n0 + 1) sont vraies et si la véracité des propriétés P(n0), P(n0 + 1) implique celle de P(n + 1) alors P(n) est vraie pour tout entier naturel n > n0.

Remarque

  • On utilise la récurrence uniquement quand la propriété à démontrer dépend d’un entier naturel.
  • Les principes de récurrence forte ou à deux pas sont des conséquences immédiates du principe
    de récurrence faible.
  • Avant d’essayer une récurrence il est bon de voir s’il n’existe pas une preuve directe souvent
    plus rapide.

Notation

Étant données deux entiers naturels n et p avec n ≤ p, on notera [n, p] l’ensemble des entiers naturels compris entre n et p. On adoptera la dénomination : « l’intervalle d’entiers compris entre n et p » pour le décrire.

Approfondir en étudiant l'ensemble des nombres réels et ses opérations

Comment fonctionne la formule exponentielle ?
Les opérations de bases comme l'addition ou la multiplication permettent de mettre en place des formules complexes.

Addition

Soient a, b et c trois réels, on a :

  • a + b = b + a (commutativité)
  • (a + b) + c = a + (b + c) (associativité)

On dit que l’addition des nombres réels est commutative et associative.

Multiplication

Soient a, b et c trois réels, on a :

  • a × b = b × a (commutativité)
  • (a × b) × c = a × (b × c) (associativité)

La multiplication des réels est aussi commutative et associative.

Soient a et b deux réels, on a : a × b = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0

Soient a, b et c trois réels, on a :

  • a × (b + c) = a × b + a × c (distributivité à gauche)
  • (a + b) × c = a × c + b × c) (distributivité à droite)

C’est la distributivité de la multiplication sur l’addition des nombres réels.

Règle de calculs sur les quotients

Soient a, b, c et d quatre nombres réels avec b et d non nuls, on a :
a/b + c/d = (ad + bc)/bd ; a/b × c/d = ac/bd ; a/b ÷ c/d = a/b × d/c = ad/bc si c ≠ 0

Valeur absolue

Soit x un réel, on notera |x| =

  • x si x > 0
  • −x si x < 0

Remarque

  • Sur un axe gradué, |x| est la distance du point d’abscisse x à l’origine de l’axe.
  • De la même façon |a − b| est la distance séparant les points d’abscisses respectives a et b sur un
    axe gradué.

Théorème : Inégalité triangulaire

Soient x et y deux nombres réels, on a :
||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|
avec égalité en (1) ssi xy ≤ 0 et égalité en (2) ssi xy ≥ 0

Calcul avec radicaux

  1. Soient x et y deux réels positifs, on a : √xy = √x √y.
  2. Soit x un réel positif, √x² = x.
  3. Soit x un réel quelconque, √x²0 = |x|.

Attention, ce dernier point est un écueil sur lequel s’échoue bien des étudiants débutants... vous voilà prévenus.

Identités remarquables

Pour tous réels a et b on a :

  • (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • (a − b)² = a² − 2ab + b²
  • (a + b)(a − b) = a² − b²

Définitions : Règles de calcul

Développer c'est transformer un produit en somme.

Factoriser c'est transformer une somme en produit en faisant apparaître son facteur commun.

Réduire c'est effectuer dans une expression littérales des calculs possibles.

On peut utiliser la distributivé de la multiplication.

[ k times left( a + b right) = k times a + k times b ]

[ k times left( a - b right) = k times a - k times b ]

[ left( a + b right) times left(c + d right) = a times c + a times d + b times c + b times d ]

[ left(a - b right) times left(c + d right) = a times c + a times d - b times c - b times d ]

[ left(a + b right) times left(c - d right) = a times c - a times d + b times c - b times d ]

[ left(a - b right) times left(c - d right) = a times c - a times d - b times c + b times d ]

Partie entière

Soit x un réel, il existe un unique nombre entier relatif n tel que n ≤ x < n + 1.
Ce nombre n est appelé partie entière de x et sera noté ⌊x⌋.

Résoudre des équations et des inéquations

Comment trouver la formule d'une trajectoire ?
En physique et en chimie, il vous sera souvent demandé de résoudre des équations et des inéquations donc révisez bien vos mathématiques !

Les différents types d’intervalles de nombres réels :

  • [a, b] (fermé borné), contient tous les réels compris entre a et b inclus.
  • ]a, b[ (ouvert borné), idem mais a et b exclus.
  • ]a, b] (resp. [a, b[) (semi-ouvert borné), contient tous les réels strictement supérieurs à a et inférieurs ou égaux à b (resp. réels supérieurs ou égaux à a et strictement inférieurs à b).
  • [a, +∞[ (resp. ] − ∞, b]) (semi-ouvert non borné), contient tous les réels supérieurs ou égaux à a (resp. réels inférieurs ou égaux à b).
  • ]a, +∞[, ]−∞, b[ ou ]−∞, +∞[ (ouvert non borné) idem que précédemment avec des inégalités strictes.

Équation du premier et second degré

Une égalité est inchangée lorsque l’on ajoute un même nombre aux deux membres de l’égalité.
Une égalité est inchangée lorsque l’on multiplie par un même nombre non nul les deux membres
de l’égalité.
Soient a et b deux réels avec a non nul, l’équation ax + b = 0 possède une unique solution : x = −b/a.

On considère l’équation ax2 + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont trois réels avec a non nul.
Le nombre b² − 4ac est appelé discriminant de l’équation, il est noté ∆.
On rappelle alors le résultat suivant :

  • Si ∆ > 0 alors l’équation possède deux solutions réelles : x1 = (− b −√∆) / 2a et x2 = (−b + √∆) / 2a.
  • Si ∆ = 0 alors l’équation possède une solution réelle : x0 = −b/2a

Remarque

dans le cas où ∆ > 0 on a le résultat suivant :

  • x1 + x2 = −b/a
  • x1 × x2 = c/a

Ceci permet, une solution étant connue, de déterminer l’autre très rapidement.

Inéquations

Une inégalité est inchangée lorsque l’on ajoute un même nombre aux deux membres de l’inégalité.
Une inégalité est inchangée lorsque l’on multiplie par un même nombre strictement positif les deux membres de l’inégalité.
Une inégalité change de sens lorsque l’on multiplie par un même nombre strictement négatif les deux membres de l’inégalité.

Comprendre le concept de majorants et minorants

Généralités

On considère une partie A de R.

  • S’il existe M ∈ R tel que ∀x ∈ A, x 6 M alors on dit que A est majorée par M et M est un majorant de A.
  • S’il existe m ∈ R tel que ∀x ∈ A, x > m alors on dit que A est minorée par m et m est un minorant de A.
  • Si A est majorée et minorée alors on dit que A est bornée.

Remarque

les réels m et M ci-dessus n’appartiennent pas nécessairement à la partie A.

Exemple

La partie A = { 1/n ; n ∈ N∗} est bornée par 0 et 1.

Définitions

  • S’il existe α ∈ A tel que ∀x ∈ A, x ≤ α alors on dit que α est le plus grand élément de A. On note α = max(A).
  • S’il existe β ∈ A tel que ∀x ∈ A, x ≥ β alors on dit que β est le plus petit élément de A. On note β = min(A).

Une partie de R n’admet pas nécessairement de plus petit ou de plus grand élément

Borne supérieure et borne inférieure

Soit A une partie de R, notons M+ (resp. M−) l’ensemble des majorants (resp. minorants) de A.

  • Si M+ possède un plus petit élément alors c’est le plus petit des majorants de A, on l’appelle la borne supérieure de A, notée sup(A).
  • Si M− possède un plus grand élément alors c’est le plus grand des minorants de A, on l’appelle la borne inférieure de A, notée inf(A).

Théorème

Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure.
Toute partie non vide et minorée de R admet une borne inférieure.

Caractérisation des bornes sup et inf

Soit A une partie non vide et majorée de R et α ∈ R.
α = sup(A) ⇐⇒

  • ∀x ∈ A, x ≤ α
  • ∀ε > 0, ∃x ∈ A, α − ε < x ≤ α

Soit A une partie non vide et minorée de R et β ∈ R.
β = inf(A) ⇐⇒

  • ∀x ∈ A, x ≥ β
  • ∀ε > 0, ∃x ∈ A, β ≤ x < β + ε

Étudier les nombres complexes : définitions et règles de calcul

On admet l’existence d’un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, contenant R et un nombre non réel noté i vérifiant i² = −1.
C est l’ensemble des nombres s’écrivant sous la forme z = a + ib où a et b sont des nombres réels.
Cet ensemble est structuré par une addition et une multiplication induites par l’addition et la multiplication dans R.
C = {a + ib ; (a, b) ∈ R²}

L’écriture z = a + ib d’un nombre complexe (où a et b sont des réels) est appelée forme algébrique de z.
a est la partie réelle de z et b est la partie imaginaire de z.
Notations : a = Re(z) et b = Im(z).

Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même partie réelle et même partie imaginaire,
i.e : a + ib = a' + ib' ⇐⇒ a = a' et b = b'.
Conséquences :

  • un complexe est nul ssi sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles ;
  • la forme algébrique d’un nombre complexe est unique.

∀(z, z') ∈ C² , zz' = 0 ⇐⇒ z = 0 ou z' = 0

Reconnaitre le conjugué d’un nombre complexe

Définition et propriétés

Un nombre complexe qui s’écrit iy avec y ∈ R est appelé imaginaire pur.
Conséquences :

  • un complexe est réel ssi sa partie imaginaire est nulle ;
  • un complexe est imaginaire pur ssi sa partie réelle est nulle.

On note iR l’ensemble des imaginaires purs.

Soit z = x+iy un complexe sous forme algébrique. Le nombre x−iy noté z¯ est appelé conjugué de z. z¯ = x − iy

Caractérisation des réels et des imaginaires purs

Soit z ∈ C.
z ∈ R ⇐⇒ z = ¯z
z ∈ iR ⇐⇒ z = −z¯

Attention, Soient a et b deux complexes, a − ib n’est pas le conjugué de a + ib.

Interprétation géométrique de la conjugaison

Soit M un point d’affixe z dans le plan complexe.
Le point M' d’affixe z' est le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses du repère

Remarque

la conjugaison est donc interprétée en terme de symétrie axiale dans le plan complexe.
Par suite il est facile de voir que le conjugué du conjugué d’un complexe z est égal à z. On dit que la conjugaison est une involution.

Résoudre des équations du second degré à coefficients réels

On considère l’équation ax² + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont trois réels avec a non nul.
On pose ∆ = b² − 4ac et l’on a :

  • Si ∆ > 0 alors l’équation possède deux solutions réelles : x1 = (−b −√∆) / 2a et x2 = (−b + √∆) / 2a.
  • Si ∆ = 0 alors l’équation possède une solution réelle : x0 = −b/2a.
  • Si ∆ < 0 alors l’équation possède deux solutions qui sont des nombres complexes conjugués :
    x1 = (−b − i√|∆|) / 2a et x2 = (−b + i√|∆|) / 2a.

On dispose d’un résultat permettant la factorisation de l’expression ax² + bx + c = 0 si a non nul :

On considère l’équation ax² + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont trois réels avec a non nul.

  • Si l’équation possède deux solutions réelles ou complexes x1 et x2 alors on a : ax² + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
  • Si l’équation possède une solution x0 alors on a : ax² + bx + c = a(x − x0)²

Remarque

dans le cas où ∆ ≠ 0 on a le résultat suivant :
x1 + x2 = −b/a
x1 × x2 = c/a

Ceci permet, une solution étant connue, de déterminer l’autre très rapidement.

Un peu de trigonométrie : définition et première propriétés

Définition
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; u, v) , on considère un point M défini par :
M appartient au cercle trigonométrique et (u , OM) = x [2π].
On appelle cosinus de x, noté cos x, l’abscisse du point M.
On appelle sinus de x, noté sin x, l’ordonnée du point M.
On appelle tangente de x, noté tan x, le rapport sin x/cos x lorsqu’il existe.

Remarque : l’affixe de M est eix

Avec les notations précédentes et en tenant compte de la définition précédente et des symétries observables sur le cercle trigonométrique on obtient les propriétés suivantes :

  • Périodicité :
    • cos(x + 2π) = cos x
    • sin(x + 2π) = sin x
    • tan(x + π) = tan x
  • Symétries :
    • cos(−x) = cos x
    • sin(−x) = − sin x
    • tan(−x) = − tan x
    • cos(x + π) = − cos x
    • sin(x + π) = − sin x
    • tan(x + π) = tan x
    • cos(π − x) = − cos x
    • sin(π − x) = sin x
    • tan(π − x) = − tan x

Remarque : ces dernières propriétés existent sous réserve que les tangentes des nombres soient bien définies

Quelques formules de trigonométrie

Soient x, a et b trois réels. Sous réserve que les tangentes ci-dessous sont définies, on a :

  • cos² x + sin² x = 1
  • cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
  • cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
  • sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
  • sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
  • tan(a + b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a tan b)
  • tan(a − b) = (tan a − tan b)/(1 + tan a tan b)
  • sin 2x = 2 sin x cos x
  • cos 2x = cos² x − sin² x
  • cos 2x = 2 cos² x − 1
  • cos 2x = 1 − 2 sin² x
  • tan 2x = (2 tan x)/(1 − tan² x)

Les âges (1) ( niveau 2* )

J’ai deux fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez. Quand vous aurez l’âge que j’ai, la somme de nos âges sera 99.
Quel est mon âge ?

Les âges (2) ( niveau 1* )

Mon frère a une sœur. Ma sœur a 2 frères.
Combien y a-t-il d’enfants dans ma famille ?

Un problème de baignoire ( niveau 1* )

Une baignoire entièrement remplie contient : 500 litres  + un tiers de sa contenance.
Quelle est sa contenance ?

Produit de 2 fractions ( niveau 1* )

On a 2 fractions, qui ont les particularités suivantes :

  • Le numérateur de la première est le triple du dénominateur de la seconde .
  • Le dénominateur de la première fraction est le quadruple du numérateur de la seconde .

Quel est le produit de ces 2 fractions ?

Les 100 pièces  ( niveau 2 * )

Un Sultan facétieux appela son Vizir et lui dit :

"Je vais te poser un petit problème pour tester tes capacités à être mon Vizir : si tu échoues, tu seras destitué, et si tu réussis, je te récompenserai.
Voici 10 piles de 10 pièces chacune ; elles semblent identiques, mais l’une des piles est composée de pièces fausses.
Une bonne pièce pèse 5 grammes et une fausse 6 grammes. Voici une balance et tu n’as droit qu’à une seule pesée"
Le Vizir réfléchit un moment puis donne la réponse. À toi de la découvrir.

Exercice au plongeoir  ( niveau 1* )

Françoise saute d'un plongeoir,   s'élève d'un mètre en l'air, descend de cinq mètres et effectue une remontée de deux mètres pour atteindre le niveau de l’eau.

A quelle hauteur au-dessus de l'eau se trouve le plongeoir?

Trouver l’âge  ( niveau 3* )

Tu souhaites connaître l’âge de quelqu’un sans avoir à  le lui demander directement ; mais tu peux lui faire faire un petit calcul mental, qui te donnera la solution et te fera passer pour un fort en math !  Comment vas-tu t’y prendre ?

La mouche et les 2 cyclistes  ( niveau 2* )

Sur une route longue de 30 km, deux cyclistes roulant chacun à la vitesse de 15 km à l’ heure, partent à la rencontre l’un de l’autre.
Une mouche, faisant du 30 km à l’heure, va sans arrêt  de l’un à l’autre .
Quelle distance aura-t-elle parcouru quand les cyclistes se rejoindront ?

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Joy

Freelancer et étudiante en Sciences de la Vie et de la Terre, je suis un peu une grande sœur qui épaule et aide les autres pour observer et comprendre le monde qui nous entoure et ses curieux secrets !