Introduction

Une suite est une succession de termes, de nombres réels, qui nous permettent de traduire un problème, de comprendre une situation. Très utilisées en mathématiques, les suites sont ensuite appliquées, par exemple à l'économie, dans les banques ou les assurances.

Le raisonnement par récurrence

Comment utiliser la récurrence ? Commençons par découvrir le raisonnement par récurrence.

Définition

La récurrence est une méthode de démonstration qui permet de prouver qu'une propriété est vraie sur l'ensemble des entiers naturels à  partir d'un certain rang. Cela se fait en plusieurs étapes :

  • On énonce la propriété.
  • Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie au rang initial.
  • Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang n. On montre que la propriété est vraie au rang n+1 (rang suivant n).
  • Conclusion : La propriété est vraie au rang initial et est héréditaire alors elle est vraie pour tout entier naturel n.

La récurrence permet de montrer de nombreuses propriétés des suites ainsi que des inégalités sur les entiers naturels.

Exercices

  • Soit la suite définie par

        \[\begin{cases}V_{n+1}=2V_{n}-8\\V_{0}=5\end{cases}\]

    Montrer par récurrence que

        \[V_{n}=8-3\times2^n\]

    pour tout entier naturel n.

Soit la propriété

    \[P(n):"V_{n}=8-3\times2^n"\]

Initialisation : on a

    \[V_{0}=5\]

et

    \[8-3\times2^0=8-3=5\]

Donc la propriété est vraie au rang initial : P(0) vraie.
Hérédité : On suppose P(n) vraie c'est à dire

    \[V_{n}=8-3\times2^n\]

A-t-on P(n+1) vraie ? Autrement dit, a-t-on

    \[V_{n+1}=8-3\times2^{n+1}\]

?
On a

    \[2V_{n}=2\times(8-3\times2^n)=16-3\times2\times2^n\]

    \[=16-3\times2^{n+1}\]

    \[2V_{n}-8=16-3\times2^{n+1}-8=8-3\times2^{n+1}\]

Donc la propriété est héréditaire, autrement dit P(n)=>P(n+1)
Conclusion : La propriété est vraie au rang initial et est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel n.

  • On démontre par récurrence l'inégalité de Bernoulli :

        \[(1+a)^n\geq1+n\times a\]

    Cette démonstration est exigible au baccalauréat.

On note la propriété

    \[P(n):"(1+a)^n\geq1+n\times a"\]

Initialisation :

    \[(1+a)^0=1=1+0\times a\]

La propriété est vraie au rang initial.
Hérédité : On considère la propriété vraie au rang n. Montrons que la propriété est vraie au rang n+1 c'est à dire que

    \[(1+a)^{n+1}\geq1+(n+1)\times a"\]

On a

    \[(1+a)^n\geq1+n\times a\]

D'où

    \[(1+a)^n\times(1+a)\geq(1+n\times a)\times (a+1)\]

    \[(1+a)^{n+1}\geq a+1+n\times a^2+n\times a\]

    \[(1+a)^{n+1}\geq 1+a\times(1+n)+n\times a^2\]

Or

    \[1+a\times(1+n)+n\times a^2\geq 1+a\times(1+n)\]

Donc

    \[(1+a)^{n+1}\geq 1+a\times(1+n)\]

Donc la propriété est héréditaire.
Conclusion : La propriété est vraie au rang initial et est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel n.

 

Limite d'une suite

Comment etudier la limite d'une suite ? Regardons ce qu'est une limite de suite et comment la déterminer.

Définition

La limite d'une suite Un est la valeur que prend Un lorsque n tend vers l'infini. On la note

    \[\lim_{n \rightarrow \infty}U_{n}\]

On répertorie souvent les limites types à connaître dans des tableaux.

Limite d'une somme :

lim UnLLL+∞+∞
lim VnL'+∞-∞+∞-∞
lim (Un+Vn)L+L'+∞-∞+∞forme indéterminée

Limite d'un produit :

lim UnLL>0L>0L<0L<0+∞+∞-∞0
lim VnL'+∞-∞+∞-∞+∞-∞-∞+∞ ou -∞
lim (Un x Vn)L x L'+∞-∞-∞+∞+∞-∞+∞forme indéterminée

Limite d'un quotient :

lim UnLL+∞-∞L≠00+∞ ou -∞
lim VnL'≠0+∞ ou -∞L≠0L≠000+∞ ou -∞
lim (Un/Vn)L/L'0+∞ si L>0
-∞ si L<0
-∞ si L>0
+∞ si L<0
+∞ ou -∞forme indéterminéeforme indéterminée

Regardons quelques exemples de calculs de limites.

  •     \[U_{n}=3n^2-5n+2\]

    Ici, 3n² tend vers et -5n tend vers -. Or, - est une forme indéterminée. Dans ce cas, c'est toujours le terme de plus haut degrés qui l'emporte. Donc

        \[\lim_{n \rightarrow \infty}U_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} 3\times n^2 = \infty\]

  •     \[V_{n}=1+\frac{2}{n}-\frac{6}{n^2}\]

    La limite de

        \[\frac{2}{n}\]

    est 0 lorsque n tend vers l'infini. Il en est de même pour la limite de

        \[\frac{6}{n^2}\]

    Ainsi,

        \[\lim_{n \rightarrow \infty}V_{n}=\lim_{n \rightarrow \infty}1+\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2}{n}-\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{6}{n^2}=1\]

  •     \[W_{n}=\frac{2n+3}{n^2+9}\]

    Ici, la limite de 2n+3 est + lorsque n tend vers l'infini. Et la limite de n+9 est + aussi. Or,

        \[\frac{\infty}{\infty}\]

    est une forme indéterminée. On ne peut donc pas calculer directement la limite de Wn. On va factoriser Wn par n :

        \[W_{n}=\frac{n(2+\frac{3}{n})}{n(n+\frac{9}{n})}=\frac{2+\frac{3}{n}}{n+\frac{9}{n}}\]

    Ici, la limite du numérateur donne 2 et la limite du dénominateur donne +. Donc Wn a pour limite 0.

Propriétés

Si une suite est croissante et admet pour limite l, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à l. Cela revient à dire que la suite est majorée par l.

Une limite importante à connaître est la limite de la suite

    \[q^n\]

Lorsque q est compris entre 0 et 1 strictement, la limite de la suite vaut 0 lorsque n tend vers l'infini.

Si q=1, la limite vaut 1.

Lorsque q est supérieur strictement à 1, la limite de la suite

    \[q^n\]

  vaut l'infini.

Si q est plus petit que 0, la suite n'admet pas de limite. En effet, prenons pour exemple la suite

    \[U_{n}=(-1)^n\]

dont les termes varient continuellement entre 1 et -1. Elle ne peut donc pas admettre de limite.

Théorème de comparaison

  • Soient Un et Vn deux suites telles que

        \[\lim_{n \rightarrow +\infty}U_{n}=+\infty\]

    et

        \[U_{n}\leq V_{n}\]

    à partir d'un certain rang. Alors

        \[\lim_{n \rightarrow +\infty}V_{n}=+\infty\]

  • Soient Un et Vn deux suites telles que

        \[\lim_{n \rightarrow +\infty}V_{n}=-\infty\]

    et

        \[U_{n}\leq V_{n}\]

    à partir d'un certain rang. Alors

        \[\lim_{n \rightarrow +\infty}U_{n}=-\infty\]

Théorème des gendarmes

Soient Un, Vn et Wn trois suites telles que

    \[U_{n}\leq V_{n}\leq W_{n}\]

Si

    \[\lim_{n \rightarrow +\infty}U_{n}=\lim_{n \rightarrow +\infty} W_{n}=l\]

alors

    \[\lim_{n \rightarrow +\infty}V_{n}=l\]

 

Suite majorée, minorée, bornée et convergente

Qu'est ce qu'une suite convergente ? Définissons les termes indispensables à l'étude des suites.

Une suite numérique est dite convergente si sa limite, lorsque n tend vers l'infini, est égale à un nombre constant et fini l. Par exemple, la suite

    \[U_{n}=n\]

ne converge pas car sa limite est

    \[+ \infty\]

De même, la suite

    \[V_{n}=(-1)^n\]

ne converge pas car la suite n'a pas de limite, elle alterne continuellement entre 1 et -1.

Une suite convergente admet une seule et unique limite. Une suite non convergente est dite divergente.

Une suite Un est majorée si elle admet un majorant, c'est à dire s'il existe un M tel que

    \[U_{n}\leq M\]

Par exemple, la suite

    \[U_{n}=1+\frac{1}{n}\]

, définie pour n un entier naturel positif, est majorée par 2.

Une suite Un est minorée si elle admet un minorant, c'est à dire s'il existe un m tel que

    \[U_{n}\geq m\]

Par exemple, la suite

    \[U_{n}=1+\frac{1}{n}\]

, définie pour n un entier naturel positif, est minorée par 1.

Une suite croissante est majorée par son premier terme. Une suite décroissante est minorée par son premier terme.

Une suite croissante et majorée est convergente. Une suite croissante non majorée diverge vers l'infini. Une suite croissante et convergente vers l est majorée par l.

De même une suite décroissante et minorée est convergente. Une suite décroissante non minorée diverge.

Une suite est bornée si elle admet un majorant et un minorant, c'est à dire s'il existe M et m des constantes telles que

    \[m\leq U_{n}\leq M\]

Donc la suite

    \[U_{n}=1+\frac{1}{n}\]

est bornée.

 

Exercice type bac

Quelles sont la limite et la forme explicite d'une suite ? Regardons un exercice afin de préparer le baccalauréat !

Énoncé :

Depuis qu'il est à la retraite, un homme tond sa pelouse tous les samedis, il recueille chaque fois 120 litres de gazon qu'il stocke dans un bac à compost de 300 litres.
Chaque semaine les matières stockées perdent, après décomposition ou prélèvement les trois quarts de leur volume.
Soit V1, V2, V3 les volumes en litres stockés respectivement les premier, deuxième et troisième samedis après la tonte.
De manière générale, soit Vn le volume stocké le nième samedi après la tonte.
1. a) Montrer que V1 = 120 litres, V2 = 150 litres, V3 = 157,5 litres.
b) Calculer les volumes V4, V5, V6 exprimés en litres, stockés respectivement les quatrième, cinquième, sixième samedis après la tonte.
2. Exprimer Vn+1 en fonction de Vn.
3. On définit, pour tout n supérieur ou égal à1, tn par : tn = 160 - Vn.
a) Montrer que (tn) est la suite géométrique de premier terme t1 = 40 et donner sa raison.
b) En déduire les expressions de tn puis de Vn en fonction de n.
c) Déterminer la limite de (tn) puis celle de (Vn).

Corrigé :

1) V1=120 est la quantité de gazon stockée au départ.

V2=120+0.25 x 120=120+30=150

V3=120+0.25 x 150=120+37.5=157.5

On fait de même pour les suivants et on trouve V4=159.38, V5=159.84, V6=159.96

2)

    \[V_{n+1}=120+0.25\times V_{n}\]

3)

    \[t_{n+1}=160-V_{n+1}=160-(120+0.25\times V_{n})=40-0.25\times V_{n}\]

On a Vn = 160-tn. Donc

    \[t_{n+1}=40-0.25(160-t_{n})=0.25\times t_{n}\]

Donc tn est géométrique de raison 0.25 et de premier terme t0 = 160 - V0 =160-120=40

4)

    \[t_{n+1}=0.25\times t_{n}\]

D'où

    \[t_{n}=40\times 0.25^{n-1}\]

d'après la formule vue en classe de première.

    \[V_{n}=160-40\times 0.25^{n-1}\]

5) Comme 0.25 est compris entre 0 et 1, alors 0.25n-1 a pour limite 0. Ainsi, tn a pour limite 0 et Vn a pour limite 160. C'est ce qu'on pouvait conjecturer en voyant les premiers termes de la suite.

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