Introduction

Dans votre scolarité a été introduit le concept d'espace probabilisé dans le contexte d'un univers complet. Nous allons ici généraliser les définitions à n'importe quel univers tout en nous concentrant sur le cas où l'univers n'est pas complet. La théorie est plus compliquée : un événement ne doit pas nécessairement faire partie de l'univers ; l'additivité des probabilités s'étend aux réunions non dénombrables d'événements incompatibles ; et des systèmes d'événements entiers peuvent être non dénombrables aussi bien que finis.

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C'est parti

Les espaces probabilisés

Comment calculer des probabilités en statistiques ?
Les statistiques et les probabilités sont étroitement liées. En effet, pour connaître la probabilité qu'un évènement puisse se produire, on cherche à regarder combien il faudra d'itérations en moyenne pour qu'il survienne.

Expérience aléatoire

Il est bon de rappeler qu'une expérience aléatoire est une expérience dont l'issue ne peut être prédite à l'avance. En général, l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire est connu, ou peut au moins être inclus dans un ensemble connu.

Première définition

L’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire est appelé univers (ou univers des possibles, ou ensemble fondamental), noté en général Ω.
Un élément de cet ensemble Ω est appelé un possible ou une éventualité.
Il est dit réalisé s’il est effectivement constaté lors d’un déroulement particulier de l’expérience.

Exemple 1

C'est une expérience qui consiste à lancer une pièce de monnaie et à s'arrêter lorsque la pile est obtenue pour la première fois. Si un tas est obtenu à la nième tentative, le résultat peut être représenté par la suite (F,..., F, P) à n termes. Cependant, il est possible qu'aucune pile ne soit jamais obtenue, un résultat qui peut être représenté par un nombre infini de F. On obtient ce résultat en notant ω0 ce résultat.

Cet ensemble est infini et dénombrable. On rappelle qu’un ensemble est dénombrable s’il
peut être mis en bijection avec N

Exemple 2

On regarde la durée de vie d'une ampoule électrique. Le résultat est soit un vrai positif, soit un faux négatif.
Il est risqué de simplement augmenter cette durée de vie ; après tout, si nous donnons à notre expérience une durée de vie maximale de M, l'ampoule que nous testons pourrait être exceptionnelle et continuer à fonctionner après ce temps.
C'est pourquoi nous choisirons Ω = R*+ =]0,+[, même s'il est évidemment ridicule d'imaginer que les ampoules soient encore actives après un million d'années !
Cette fois, l'univers Ω est une collection infinie et innommable.

Notation

Les éléments de Ω sont généralement dénotés par la lettre ω.
Si Ω est un ensemble complet contenant n éléments, alors Ω = { ω1, ... , ωn } ; si Ω est indénombrable, alors Ω = { ωi, i ∈ N } (on peut être tenté de choisir N* plutôt que N par commodité).

Les évènements

Un événement est une propriété associée à une expérience qui peut être vérifiée ou non. Il est possible d'identifier un tel événement en examinant l'ensemble des résultats pour lesquels il a été vérifié. Par conséquent, un événement est une partie de l'univers, ou une composante P (Ω).

Exemple

Nous allons reconstituer l'expérience du lancement d'une pièce de monnaie jusqu'à l'obtention de la première pile.
(P), (F, P), (F, F, P), (F, F, F, P)
Le singleton ω0 est l'événement " l'expérience ne se termine pas ".
Nous ne savons pas si chaque partie de Ω est un événement avant qu'il ne se produise. Ceci sera clarifié plus tard. Cependant, certaines parties de Ω peuvent être considérées comme des événements à part entière.

Définition 2

  • Un événement Ω est connu sous le nom d'événement certain.
  • ∅ est un événement Ω dit événement impossible.
  • Un événement Ω est appelé événement élémentaire s'il ne comporte qu'un seul élément.

Définition 3

Soit A un événement. On dit que A est réalisé si le résultat de l’expérience appartient à A

Définition 4

Pour tous événements A et B d’un univers Ω, on dit que l’événement A implique l’événement B si A ⊂ B, c’est-à-dire si, lorsque A est réalisé, B est réalisé aussi.

Définition 5

Soit Ω un univers. Deux événements A et B de Ω tels que A ∩ B = ∅ sont dits incompatibles.

Opération sur les événements

Qu'est-ce qu'une chance en probabilité ?
En probabilités, on évoque souvent le terme de "chance" pour définir la survenue d'un évènement.

Si A et B sont deux événements liés à la même expérience, il est naturel de supposer que l'échec de l'achèvement de A, l'achèvement simultané de A et B, ou l'achèvement d'au moins un des événements A et B sont tous des événements.

Définition 6

Soit Ω un univers.
Pour tout événement A de Ω, le complémentaire de A dans Ω, est un événement, appelé l’événement contraire de A.
La réunion A ∪ B de deux événements A et B de Ω est un événement, appelé « A ou B ».
L’intersection A ∩ B de deux événements A et B de Ω est un événement, appelé « A et B »

Proposition 1

L’intersection et la réunion d’un nombre fini d’événements sont des événements.

Remarque

Dans le cas où V n'est pas complété, il semble qu'il faille envisager des réunions d'événements indénombrables.

Exemple

Nous allons reconstituer l'expérience consistant à lancer une pièce de monnaie jusqu'à l'obtention de la première pile. L'événement An se décrit comme ce qui suit : "L'expérience se termine après le nième lancement". On peut le noter ainsi :

On appelle cela une réunion dénombrables d’événements élémentaires.

mble donc nécessaire, en plus des propriétés précédentes de supposer que l’ensemble des événements est stable par réunion dénombrable.

L'ensemble des événement

T l'ensemble des événements a été noté. C'est un sous-ensemble de P (Ω). Dans le cas où Ω est fermé ou non dénombrable, nous traiterons chaque partie de V comme un événement et utiliserons T = P(Ω) pour représenter l'ensemble des parties de Ω. Cependant, si Ω n'est pas dénombrable, il n'est pas viable de prendre T = P(Ω) car cela empêche de définir une probabilité raisonnable ; T sera alors une composante stricte de P(Ω) qui vérifie toutes les propriétés précédemment établies.
Ceci conduit à la définition suivante.

Définition 7

Un couple (Ω, T) composé d'un ensemble Ω et d'un sous-ensemble T de P(Ω) est appelé espace probabiliste.

  • Ω appartient à T
  • T est stable par passage au complémentaire, c'est-à-dire que pour tout élément A de T, l'événement contraire de A appartient à T ;
  • T est stable par rencontre dénombrable.

L'ensemble Ω est appelé l'univers, et chaque élément de T est appelé un événement Ω.

Le théorème suivant nous montre que l’on retrouve ainsi toutes les propriétés que l’on souhaitait voir vérifiées par l’ensemble des événements.

Remarque

Ω est un groupe, et T est un sous-ensemble de P(V). T est un tribu de V si :

  • Ω appartient à T ;
  • T est stable par passage au complément, c'est-à-dire que l'événement contraire de A appartient à T pour tout élément A de T ;
  • T est stable par réunion dénombrable. On peut ainsi déclarer qu'un espace probabilisable est un coupe (Ω,T) où T est une tribu sur Ω. Cependant, la notion de tribu n'est pas incluse dans le programme scolaire.
  • Lorsque l'univers V est complet ou indénombrable, le nombre total d'événements est P(Ω), et l'espace de probabilité est V, P(Ω).
    Il est également intéressant de noter que si V est un ensemble complet, alors P(Ω) est également complet. Toute intersection (resp. réunion) avec le plus grand nombre indénombrable d'éléments T est réduite à une seule intersection (resp. une seule réunion). Dans un espace fini probabilisable, la notion de stabilité par réunion ou intersection dénombrable est superflue.
  • Lorsque Ω n'est pas dénombrable, la construction d'un espace probabiliste (Ω, T) qui peut être utilisé pour décrire le scénario est extrêmement difficile. En pratique, la présence d'un tel espace probabiliste sera considérée comme acquise.

Système complet d'événement

Comment prédire la météo ?
Lorsque l'on regarde le bulletin météo, c'est aussi une histoire de probabilités. En effet, les météorologues essaient de deviner le temps qu'il est probable de faire au regard de différents indicateurs tels que la température ou encore la pression atmosphérique.

Définition 8

Soit (Ω, T ) un espace probabilisable.
On appelle système complet d’événements de cet espace probabilisable toute famille finie ou dénombrable (Ai)i∈I d’événements, où I = N ou I = [[1, n]] (n ∈ N∗), telle que :

  • Pour tout couple (i, j) d’éléments distincts de I, Ai ∩ Aj = ∅ ;
  • U(i∈I) Ai = Ω

Remarque

  • Si (Ai)iI est un système complet d'événements Ω, alors (Ai)iI est une partition Ω si, et seulement si, tous les Ai sont différents de. Cette exigence est ajoutée par certains auteurs à la définition des systèmes complets.
  •  Lorsqu'un système d'événements complet est indénombrable, il est courant d'utiliser I = N* plutôt que N.

Proposition 3

C'est un espace probabiliste (Ω, T).

  • Pour tout événement de A à Ω, la famille (A, événement contraire de A) est un système complet de gestion des événements.
  • Si l'univers est complet Ω = {ω1, ... , ωn} , alors la famille ({ω1}, {ω2}, ... , {ωn}), qui est constituée d'événements élémentaires, est un système événementiel complet.
  • En général, pour tout univers le plus dénombrable Ω = { ωi, i ∈ N}, la famille ({ωi} i ∈ N), qui est constituée d'événements élémentaires, est un système d'événements complet.

Les espaces probabilisés

Comment gagner aux jeux d'argent ?
Dans les jeux d'argent et de casino, c'est aussi une affaire de probabilités. Pour cause, les chances de gagner sont très faibles mais un gagnant peut remporter beaucoup !

Dans le cas d'un univers fini, une probabilité est définie comme une application additive de P(Ω) dans l'intervalle [0, 1], c'est-à-dire P(A ∪ B) = P(A) + P(B), pour toute paire d'événements incompatibles (A, B). Pour traiter le cas où Ω est infini, une condition additive plus forte est imposée.

Probabilité

Définitions

On appelle probabilité sur l’espace probabilisable (Ω, T ) toute application P de T dans R+ vérifiant

  • P(Ω) = 1,
  • pour toute suite (Ai)i∈N d’événements deux à deux incompatibles, la série de terme général P(Ai) converge et

Pour tout A élément de T , P(A) est appelée la probabilité de l’événement A.

Remarques

  • Le nombre +∞Σ(i=0) P(Ai)correspond à la somme d’une série à termes positifs.
  • La seconde propriété est appelée la s-additivité.
  • Il résulte de la définition que les événements sont les parties de V auxquelles on peut associer une probabilité.

Définition 10

Un espace probabilisé est un triplet (Ω, T , P), où (Ω, T ) est un espace probabilisable et P une probabilité sur (Ω, T ).

Théorème 1

Soit (V, T , P) un espace probabilisé. On a alors :

  1. P(∅) = 0 ;
  2. pour toute famille finie (A1, A2, ... , An) d’événements deux à deux incompatibles,
    P (A1 ∪ ... ∪ An) = nΣ(k=1) P(Ak).
    En particulier, pour tout couple (A, B) d’événements incompatibles
    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ;
  3. pour tout événement A,
    P(événement contraire de A) = 1 − P(A)
    et
    0 ≤ P(A) ≤ 1;
  4. pour tout couple (A, B) d’événements vérifiant A ⊂ B, on a
    P(B \ A) = P(B) − P(A)
    et donc
    P(A) ≤ P(B) ;
    on dit que l’application P est croissante ;
  5. pour tout couple (A, B) d’événements,
    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Justification du théorème

  1. Considérons la famille (Ai)i∈N d'événements incompatibles, où Ai = pour l'ensemble du monde naturel i. Il en résulte que, selon la définition d'une probabilité, la série de termes constants généraux P(∅) converge, avec P(∅) = 0.
  2. Soit (A1,..., An) une famille de deux à deux événements incompatibles. La suite (Ak)kN, dans laquelle Ak = ∅ pour tout k ≥ n + 1 et k = 0, est une famille d'événements incompatibles deux à deux.
    Il en résulte que, selon la définition de la probabilité,Comme P(∅) = 0 et +∞∪(k=0) Ak = A1 ∪ ... ∪ An, on obtientPar conséquent, la deuxième propriété de la définition d'une probabilité est vraie pour une réunion terminée. En particulier, avec deux événements incompatibles, on peut trouver P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
  3. On a par définition, puisque A et événement contraire de A sont incompatibles,
    P(A) + P(événement contraire de A) = P (A ∪ événement contraire de A) = P(Ω) = 1
    et donc P(événement contraire de A) = 1 − P(A). Comme P(événement contraire de A) ≥ 0, on en déduit P(A) ≤ 1 et donc P(A) ∈ [0, 1]
  4. Si A ⊂ B, B est la réunion des événements incompatibles A et B \ A et donc P(B) = P(A) + P(B \ A) ≥ P(A).
    On en déduit P(B \ A) = P(B) − P(A).
  5. L’événement A ∪ B est la réunion des deux événements incompatibles A et B \ A; d’autre part, B est la réunion des événements incompatibles A ∩ B et B \ A. On a donc
    P(A ∪ B) = P(A) + P(B \ A) et P(B) = P(A ∩ B) + P(B \ A).
    On en déduit que
    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Remarque

Ainsi toute probabilité est une application à valeurs dans [0, 1]

Corolaire 1

Pour tout couple d’événements (A, B) de l’espace probabilisé (Ω, T , P), on a P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B).

Justification du corolaire 1

Trivial grâce au point 5 du précédent théorème.

Définition 11

Soit un espace probabiliste (Ω, T, P). Tout événement A, tel que P(A) = 0, qui diffère de ∅, est dit négligeable ou quasi-impossible.
Tout événement dont la probabilité est de 1 et qui diffère de Ω est dit "presque certain" ou "quasi certain".
Toute propriété qui est vérifiée sur un ensemble de probabilités de 1 est réputée presque certainement vraie ou quasi certaine.

Remarque

Nous verrons que dans le cas d'un univers infini, un événement A peut être quasi-impossible, c'est-à-dire de probabilité nulle, sauf si A = ∅. Dans ce cas, l'occurrence est quasi certaine, c'est-à-dire qu'elle a une probabilité de un, mais elle n'est pas égale à Ω.

Exercice de probabilité avec permutations

Une urne contient 5 boules rouges, 4 noires, 3 vertes. On tire trois boules dans cette urne, successivement, en remettant chaque boule tirée dans l'urne avant de prendre les suivantes.

1. Quel est le nombre de tirages possibles ?
2. Calculer la probabilité :
a) d'obtenir trois boules rouges ;
b) d'obtenir deux boules rouges exactement ;
c) d'obtenir au moins une boule rouge ;
d) d'obtenir deux boules vertes et une noire ;
e) d'obtenir trois boules de la même couleur ;
f) d'obtenir trois boules de trois couleurs différentes.

Réponses de l'exercice de probabilité avec permutations

1. Quel est le nombre de tirages possibles ?

Ce qui nous est demandé ici, c'est le nombre d'éléments dans l'espace échantillon, c'est-à-dire le nombre de résultats possibles de l'expérience.

Dans ce cas, nous savons que dans la première, la deuxième et la troisième extraction, nous avons trois options, donc le nombre de résultats possibles est

     \[ 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \]

Nous pouvons même écrire ce que serait l'espace d'échantillonnage.

Soit

R = boule rouge 

N = boule noire 

V = boule verte 

alors l'espace d'échantillonnage est

    \begin{equation*} \begin{split} E = \{& RRR, RRN, RRV, RNR, RVR, RNN, RNV, RVV, RVN,NNN, NNR, NNV,\\ & NRN, NVN, NRR, NRV, NVV,NVR, VVV, VVR,VVN, VNV, VRV, VNN, \\ & VNR, VRR, VRN \}. \end{split} \end{equation*}

2. Calculer la probabilité :
a) d'obtenir trois boules rouges ;

Obtenir trois boules rouges équivaut à l'événement:

RRR

Cela signifie obtenir une boule rouge dans la première, deuxième et troisième extraction:

    \[ P(RRR) = \left(\frac{5}{12}\right)\left(\frac{5}{12}\right)\left(\frac{5}{12}\right) = \frac{125}{1728} \]

b) d'obtenir deux boules rouges exactement ;

Nous recherchons les événements où nous tirons exactement deux boules rouges, quel que soit l'ordre.

Nous regardons l'espace d'échantillonnage et ajoutons les probabilités de ces événements, alors: 

    \begin{align*} P(\textrm{Deux balles rouges}) &= P(RRN) + P(RRV) + P(RNR) + P(RVR) + P(NRR)\\ &\quad + P(VRR) \\ &= 3P(RRN) + 3P(RRV) \\ &= 3\left(\frac{5}{12}\right)^2 \left(\frac{4}{12}\right) + 3\left(\frac{5}{12}\right)^2 \left(\frac{3}{12}\right)\\ &= \frac{25}{144} + \frac{25}{192}\\ &= \frac{175}{576} \end{align*}

Remarque : Notez que P(RRN) = P(RNR) puisqu'il s'agit des mêmes éléments mais dans un ordre différent.

c) d'obtenir au moins une boule rouge ;

Nous voulons la probabilité d'obtenir au moins une balle rouge, c'est-à-dire qu'elle peut être 3 rouges, 2 rouges ou 1 rouge, nous ajoutons donc tous les événements où au moins un R apparaît

    \begin{align*} P(\textrm{au moins une balle rouge}) &= P(RRR) + 3P(RRV) + 3P(RRN) + 3P(RNN) \\ &\quad + 3P(RVV) + 6P(RVN) \\ &= \frac{125}{1728} + \frac{25}{192} + \frac{25}{144} + 3\left(\frac{5}{12}\right) \left(\frac{4}{12}\right)^2 + 3\left(\frac{5}{12}\right) \left(\frac{3}{12}\right)^2 \\ &\quad + 6\left(\frac{5}{12}\right) \left(\frac{3}{12}\right)\left(\frac{4}{12}\right) \\ &= \frac{125}{1728} + \frac{25}{192} + \frac{25}{144} + \frac{5}{36} + \frac{5}{64} + \frac{5}{24}\\ &= \frac{1385}{1728} \end{align*}

d) d'obtenir deux boules vertes et une noire ;

On considère les éléments de l'espace échantillon où il y a 2 boules vertes et une noire, puis

    \begin{align*} P(\textrm{Deux balles vertes et une noire}) &= P(VVN) + P(VNV) + P(NVV) \\ &= 3P(VVN)\\ &= 3\left(\frac{3}{12}\right)^2 \left(\frac{4}{12}\right)\\ &= \frac{1}{16} \end{align*}

e) d'obtenir trois boules de la même couleur ;

Nous ajoutons les éléments de l'espace indiqué où la même couleur est répétée trois fois:

    \begin{align*} P(\textrm{répéter trois fois la même couleur}) &= P(RRR) +P (NNN) + P(VVV)\\ &= \left(\frac{5}{12}\right)^3 + \left(\frac{4}{12}\right)^3 + \left(\frac{3}{12}\right)^3\\ &= \frac{1}{8} \end{align*}

f) d'obtenir trois boules de trois couleurs différentes.

Nous ajoutons tous ces éléments qui ont les trois extractions différentes:

    \begin{align*} P(\textrm{trois couleurs différentes}) &= 6P(RVN) \\ &= \frac{5}{24} \end{align*}

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !