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Etude de la fonction f : x-> x3 + 4.5 x2 + 6x + 2

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Correction

  1. Domaine de definition: R

2.  On calcule la dérivée f ' qui nous donne les variations de f

f '(x) = 3x2 + 9x + 6 = 3(x2 + 3x + 2)

  • Il faut maintenant étudier le signe de f ', car celui-ci nous indique si f croît ou décroît.

Si f' positif : f croissante sur cet intervalle

Si f ' négatif : f décroissante sur cet intervalle

 

  • calcul de Δ pour (x2 + 3x + 2)

Δ = 32- 4.1.2 = 1

2 racines :

x1 = (-3-(1)1/2) / 2 = -2

x2 = (-3+(1)1/2) / 2 = -1

le coefficient devant x2 étant positif, x2 + 3x + 2 est positive à l'exterieur des racines, c'est à dire négative entre -2 et -1, positive ailleurs.

De même pour f ' qui ne diffère que d'une constante

  • f est donc croissante sur  ]-∞,-2] jusqu'à 0, decroissante sur[1,2] jusqu'à -1/2 , croissante sur [2,+∞[.

 

  • Pour x tend vers +∞  lim f(x) = +∞  car dans un polynome, en +/-∞ on considere le terme de plus haut degré, ici x3 tend vers +∞ en +∞
  • Pour x tend vers -∞  lim f(x) = -∞    (idem)
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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !