Etude de la fonction g : x-> 1 / x + ln(x) + 4
- ensemble de definition : R+* : la fonction ln n'est pas definie dans l'ensemble des négatifs ainsi qu'en 0
2.
- g'(x) = -1 / x2 + 1 / x
= (x - 1) / x2
On met dans une forme de produit (ou de quotient) pour étudier le signe de g'
On voit immédiatement que g' est négative pour x entre 0 et 1, positive pour x supérieur à 1
- g est donc décroissante sur ]0,1] jusqu'à g(1)= 5, croissante sur [1,+∞[
- Pour x tend vers 0+, on transforme un peu l'ecriture de la fonction
g(x) = (x.ln(x) + 1) / x + 4
Or on sait que lim (x->0+) x.ln(x) = 0
Soit : lim (x->0+) x.ln(x) + 1 = 1
Soit : lim (x->0+) (x.ln(x) + 1) / x = +∞
Enfin lim (x->0+) g(x) = +∞
- lim (x->+∞) 1 / x = 0
lim (x->+∞) ln(x) = +∞
Soit : lim (x->+∞) g(x) = +∞
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