Etude de la fonction g : x-> 1 / x + ln(x) + 4

  1. ensemble de definition : R+*  :  la fonction ln n'est pas definie dans l'ensemble des négatifs ainsi qu'en 0

2.

  • g'(x) = -1 / x2 + 1 / x

= (x - 1) / x2

On met dans une forme de produit (ou de quotient) pour étudier le signe de g'

On voit immédiatement que g' est négative pour x entre 0 et 1, positive pour x supérieur à 1

  • g est donc décroissante sur ]0,1] jusqu'à g(1)= 5, croissante sur [1,+∞[
  • Pour x tend vers 0+, on transforme un peu l'ecriture de la fonction

g(x) = (x.ln(x) + 1) / x  + 4

Or on sait que lim  (x->0+)    x.ln(x) = 0

Soit :  lim  (x->0+)    x.ln(x) + 1 =  1

Soit : lim  (x->0+)    (x.ln(x) + 1) / x = +∞

Enfin  lim  (x->0+)    g(x)  = +∞

  • lim  (x->+∞)   1 / x = 0

lim  (x->+∞)    ln(x) = +∞

Soit : lim  (x->+∞)   g(x) = +∞

 

 

 

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !