Chapitres

Énoncé

Les droites D et D' ont pour représentations paramétriques :
x=2-3t
y=1+t
z=-3+2t
avec t E R

et D'
x=5+2t'
y=2t'
z=-5-t'

Montrer qu'il existe un plan P, et un seul plan contenant D et D'. Déterminer une équation cartésienne de ce plan

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Corrigé

I.Recherche pour voir si D et D' sont concourantes.

2 - 3t = 5 + 2t'
1 + t = 2t'

-> 2 - 3t = 5 + 1 + t
4t = -4
t = -1
t' = 0

z de D pour t = -1 -> ZD = -3-2 = -5
z de D' pour t = -1 -> ZD' = -5-0 = -5

-> D et D' ont le point (5 ; 0 ; -5) en commun.
D et D' sont concourantes et définissent donc un et un seul plan.

Soit x + Ay + Bz + C = 0 l'équation de ce plan.

un point de ce plan a pour coordonnées(5 ; 0 ; -5)
Un autre point de D (par exemple pour t = 0) -> point (2 ; 1 ; -3) est aussi dans le plan.
Un autre point de D' (par exemple pour t' = 1) -> point (7 ; 2 ; -6) est aussi dans le plan.

On a alors le ystème:
5 - 5B + C = 0
2 + A - 3B + C = 0
7 + 2A - 6B + C = 0

résolu, ce système donne: A=-0,2 ; B = 1,6 et C = 3

Equation du plan: x - 0,2y + 1,6z + 3 = 0
Ou encore:

5x - y + 8z + 15 = 0

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !