Comment bien le choisir ?

Énoncé

Les droites D et D' ont pour représentations paramétriques : x=2-3t y=1+t z=-3+2t avec t E R et D' x=5+2t' y=2t' z=-5-t' Montrer qu'il existe un plan P, et un seul plan contenant D et D'. Déterminer une équation cartésienne de ce plan

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Corrigé

I.Recherche pour voir si D et D' sont concourantes. 2 - 3t = 5 + 2t' 1 + t = 2t' -> 2 - 3t = 5 + 1 + t 4t = -4 t = -1 t' = 0 z de D pour t = -1 -> ZD = -3-2 = -5 z de D' pour t = -1 -> ZD' = -5-0 = -5 -> D et D' ont le point (5 ; 0 ; -5) en commun. D et D' sont concourantes et définissent donc un et un seul plan. Soit x + Ay + Bz + C = 0 l'équation de ce plan. un point de ce plan a pour coordonnées(5 ; 0 ; -5) Un autre point de D (par exemple pour t = 0) -> point (2 ; 1 ; -3) est aussi dans le plan. Un autre point de D' (par exemple pour t' = 1) -> point (7 ; 2 ; -6) est aussi dans le plan. On a alors le ystème: 5 - 5B + C = 0 2 + A - 3B + C = 0 7 + 2A - 6B + C = 0 résolu, ce système donne: A=-0,2 ; B = 1,6 et C = 3 Equation du plan: x - 0,2y + 1,6z + 3 = 0 Ou encore: 5x - y + 8z + 15 = 0

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Olivier

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