Exercice 1

Soit z = 1 + 2i et z’ = i – 2.
Calculer et écrire sous forme
algébrique : z + z’, z – z, zz’ et z².

Les meilleurs professeurs de Maths disponibles
Nicolas
4,9
4,9 (138 avis)
Nicolas
35€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Greg
5
5 (142 avis)
Greg
100€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Houssem
5
5 (118 avis)
Houssem
55€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Moujib
5
5 (81 avis)
Moujib
75€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Antoine
4,9
4,9 (110 avis)
Antoine
60€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Sébastien
5
5 (80 avis)
Sébastien
75€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Térence
4,9
4,9 (66 avis)
Térence
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Laurent
4,9
4,9 (96 avis)
Laurent
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Nicolas
4,9
4,9 (138 avis)
Nicolas
35€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Greg
5
5 (142 avis)
Greg
100€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Houssem
5
5 (118 avis)
Houssem
55€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Moujib
5
5 (81 avis)
Moujib
75€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Antoine
4,9
4,9 (110 avis)
Antoine
60€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Sébastien
5
5 (80 avis)
Sébastien
75€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Térence
4,9
4,9 (66 avis)
Térence
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
Laurent
4,9
4,9 (96 avis)
Laurent
50€
/h
Gift icon
1er cours offert !
C'est parti

Exercice 2

Placer dans le plan complexe les points
suivants :
z1
= 1 + 3i
z2
= i
z3 = 3 – 2i
z4 = -2 – 2i

Exercice 3

Déduire la forme algébrique
des nombres suivants :

a. 1 / (1 + i)

b. 1 / (3 – i)

Exercice 4

Posons z = 1 + 2i et z' = 1 – 3i.

Calculer

Exercice 5

On considère les deux nombres complexes suivants :

z1
= eiπ/4 et z2
= e-iπ/3

a.
Déterminer la forme algébrique de z1 et de
z2.

b.
Déterminer les écritures sous forme algébrique,
exponentielle, et trigonométrique de z1z2.

c.
En déduire la valeur exacte du sinus et du cosinus suivant :

cos
π/12 et sin π/12

Exercice 6

Résoudre
dans CxC le système suivant :

u
+ v = -1/2
uv
= -1/4

Vous cherchez des cours de maths en ligne ?

Correction de l’exercice 1

z
+ z’ = 1 + 2i + i – 2 = 3i – 1
z – z’ = 1 + 2i – i
+ 2 = i + 3
zz’ = (1 + 2i) * (i –
2) = i – 2 – 2 – 4i = - 3i – 4
z² = (1 + 2i)²
= 1² + 2*2i + (2i)² = 1 + 4i – 4 = 4i – 3

Correction de l'exercice 3

a.
On a (1 + i)(1 – i) = 1² – i² = 2
Donc
1 – i = 2 / (1 + i), c'est à dire (1 – i) / 2 = 1 / (1 +
i).
Par
conséquent, la forme algébrique de 1 / (1 + i) est ½
– 1/2i.

b.
(3 – i)(3 + i) = 3² – i² = 10
Donc
3 + i = 10 / (3 – i), c'est à dire (3 + i) / 10 = 1 / (3 –
i).
Par
conséquent, la forme algébrique de 1 / (3 – i) est
3/10 + i/10.

Correction de l'exercice 4

Posons z = 1 + 2i et z' = 1 – 3i.

Correction de l'exercice 5

On
considère les deux nombres complexes suivants :

z1
= eiπ/4 et z2
= e-iπ/3

a.
Forme algébrique de z1 et z2 :
On
a :
z1
= eiπ/4 = √2/2
+ i√2/2
z2
= e-iπ/3 = 1/2 - i√3/2

b.
Forme algébrique de z1z2 :
z1z2
= (√2/2 + i√2/2)(1/2 –
i√3/2) = ((√2 + i√2)(1 –
i√3)) / 4
z1z2
= (√2 – i√6 + i√2 +√6) / 4 = ((√2+√6) – i(√6
+ √2)) / 4

Forme
exponentielle de z1z2 :
z1z2
= eiπ/4e-iπ/3
= eiπ/12

Forme
trigonométrique de z1z2 :
z1z2
= cos π/12 + i sin π/12

c.
On a alors :

cos
π/12 = (√2+√6)
/ 4
sin
π/12 = (√6
+ √2) / 4

Correction de l'exercice 6

u
+ v = -1/2
uv
= -1/4

Procédons
par substitution :
v
= -u – 1/2

On
remplace dans la seconde équation :
u(-u
– ½) = -1/4
4u²
+ 2u = 1

Ce
qui nous ramène à l'équation du second degré
suivante :
4u²
+ 2u – 1 = 0

Calcul
du discriminant :
Δ = 4 + 16 = 20

Par
conséquent, il y a deux racines distinctes :
(-2
- 2√5) / 8 = (-1 - √5) / 4
et
(-1
+ √5) / 4

On
cherche ensuite v.
On
obtient pour finir deux couples de solutions :

{
(-1 - √5) / 4, (-1 + √5) / 4} et {(-1 + √5) / 4, (-1 - √5) /
4}.

>

La plateforme qui connecte profs particuliers et élèves

Vous avez aimé cet article ? Notez-le !

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) 4,00 (2 note(s))
Loading...

Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !