Exercice 1

Soit z = 1 + 2i et z’ = i – 2.
Calculer et écrire sous forme
algébrique : z + z’, z – z, zz’ et z².

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Exercice 2

Placer dans le plan complexe les points
suivants :
z1
= 1 + 3i
z2
= i
z3 = 3 – 2i
z4 = -2 – 2i

Exercice 3

Déduire la forme algébrique
des nombres suivants :

a. 1 / (1 + i)

b. 1 / (3 – i)

Exercice 4

Posons z = 1 + 2i et z' = 1 – 3i.

Calculer

Exercice 5

On considère les deux nombres complexes suivants :

z1
= eiπ/4 et z2
= e-iπ/3

a.
Déterminer la forme algébrique de z1 et de
z2.

b.
Déterminer les écritures sous forme algébrique,
exponentielle, et trigonométrique de z1z2.

c.
En déduire la valeur exacte du sinus et du cosinus suivant :

cos
π/12 et sin π/12

Exercice 6

Résoudre
dans CxC le système suivant :

u
+ v = -1/2
uv
= -1/4

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Correction de l’exercice 1

z
+ z’ = 1 + 2i + i – 2 = 3i – 1
z – z’ = 1 + 2i – i
+ 2 = i + 3
zz’ = (1 + 2i) * (i –
2) = i – 2 – 2 – 4i = - 3i – 4
z² = (1 + 2i)²
= 1² + 2*2i + (2i)² = 1 + 4i – 4 = 4i – 3

Correction de l'exercice 3

a.
On a (1 + i)(1 – i) = 1² – i² = 2
Donc
1 – i = 2 / (1 + i), c'est à dire (1 – i) / 2 = 1 / (1 +
i).
Par
conséquent, la forme algébrique de 1 / (1 + i) est ½
– 1/2i.

b.
(3 – i)(3 + i) = 3² – i² = 10
Donc
3 + i = 10 / (3 – i), c'est à dire (3 + i) / 10 = 1 / (3 –
i).
Par
conséquent, la forme algébrique de 1 / (3 – i) est
3/10 + i/10.

Correction de l'exercice 4

Posons z = 1 + 2i et z' = 1 – 3i.

Correction de l'exercice 5

On
considère les deux nombres complexes suivants :

z1
= eiπ/4 et z2
= e-iπ/3

a.
Forme algébrique de z1 et z2 :
On
a :
z1
= eiπ/4 = √2/2
+ i√2/2
z2
= e-iπ/3 = 1/2 - i√3/2

b.
Forme algébrique de z1z2 :
z1z2
= (√2/2 + i√2/2)(1/2 –
i√3/2) = ((√2 + i√2)(1 –
i√3)) / 4
z1z2
= (√2 – i√6 + i√2 +√6) / 4 = ((√2+√6) – i(√6
+ √2)) / 4

Forme
exponentielle de z1z2 :
z1z2
= eiπ/4e-iπ/3
= eiπ/12

Forme
trigonométrique de z1z2 :
z1z2
= cos π/12 + i sin π/12

c.
On a alors :

cos
π/12 = (√2+√6)
/ 4
sin
π/12 = (√6
+ √2) / 4

Correction de l'exercice 6

u
+ v = -1/2
uv
= -1/4

Procédons
par substitution :
v
= -u – 1/2

On
remplace dans la seconde équation :
u(-u
– ½) = -1/4
4u²
+ 2u = 1

Ce
qui nous ramène à l'équation du second degré
suivante :
4u²
+ 2u – 1 = 0

Calcul
du discriminant :
Δ = 4 + 16 = 20

Par
conséquent, il y a deux racines distinctes :
(-2
- 2√5) / 8 = (-1 - √5) / 4
et
(-1
+ √5) / 4

On
cherche ensuite v.
On
obtient pour finir deux couples de solutions :

{
(-1 - √5) / 4, (-1 + √5) / 4} et {(-1 + √5) / 4, (-1 - √5) /
4}.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !