Énoncé

Depuis qu'il est à la retraite, un homme tond sa pelouse tous les samedis, il recueille chaque fois 120 litres de gazon qu'il stocke dans un bac à compost de 300 litres.
Chaque semaine les matières stockées perdent, après décomposition ou prélèvement les trois quarts de leur volume.
Soit V1, V2, V3 les volumes en litres stockés respectivement les premier, deuxième et troisième samedis après la tonte.
De manière générale, soit Vn le volume stocké le nième samedi après la tonte.
1. a) Montrer que V1 = 120 litres, V2 = 150 litres, V3 = 157,5 litres.
b) Calculer le volume V4 exprimé en litres, stockés respectivement le quatrième samedi après la tonte.
2. Exprimer Vn+1 en fonction de Vn.
3. On définit, pour tout n entier positif, tn par : tn = 160 - Vn.
a) Montrer que (tn) est la suite géométrique de premier terme t1 = 40 et de raison ¼.
b) En déduire les expressions de tn puis de Vn en fonction de n.
c) Déterminer la limite de (tn) puis celle de (Vn).

Correction

  1. a) V1 représente le volume en litres stocké respectivement le premier samedi.

Il recueille 120 litres de gazon, donc V1 = 120 litres.

Pendant que la semaine s'écoule, trois quart du volume des matières stockées disparaissent, donc il n'en reste plus qu'un quart.

Avant la tonte du deuxième samedi, il ne reste donc plus que ¼ des 120 litres, soit trente litres.

Après la tonte, 120 nouveaux litres s'ajoutent aux trente litres restants, donc V2= 150 litres.

Puis, avant la tonte du troisième samedi, il ne reste donc plus que ¼ des 150 litres, soit 37,5 litres.

Après la tonte, 120 nouveaux litres s'ajoutent aux 37,5 litres restants, donc V3= 157,5 litres.

 

b) Puis, avant la tonte du quatrième samedi, il ne reste donc plus que ¼ des 157,5 litres, soit 39,375 litres.

Après la tonte, 120 nouveaux litres s'ajoutent aux litres restants, donc V2= 159,375 litres.

 

  1. Le nième samedi après la tonte, il y a Vn litres stockés. Une fois la semaine écoulée, il ne reste plus que ¼ Vn. Puis après la tonte du n+1ième samedi, il reste alors 120 + ¼ Vn.

Donc Vn+1 = ¼ Vn + 120.

 

  1. a) Pour montrer qu'une suite (tn) est géométrique, il suffit de calculer tn+1 / tn et de trouver un nombre. Ce nombre est alors la raison de la suite.Calculons tn+1 / tn.

    tn+1 / tn = (160 – Vn+1) / (160 – Vn)

= (160 - (¼ Vn + 120)) / (160 – Vn)

= (160 - ¼ Vn - 120) / (160 – Vn)

= (40 - ¼ Vn) / (160 – Vn)

= ¼ x (160 - Vn) / (160 – Vn)

= ¼

(tn) est donc une suite géométrique de raison ¼.

Calculons t1.

t1 = 160 – V1 = 160 – 120 = 40.

b) Par conséquent pour tout n entier positif, tn = (¼) n-1 x t1.

tn = (¼) n-1 x 40.

Comme tn = 160 - Vn , on a 160 – Vn = (¼) n-1 x 40

Et donc – Vn = (¼) n-1 x 40 – 160.

D'où Vn = 160 - (¼) n-1 x 40

 

c) (tn) est une suite géométrique de raison positive strictement inférieure à un, donc sa limite

est nulle.

Par conséquent, comme Vn = 160 - (¼) n-1 x 40, c'est-à-dire 160 – tn , et que (tn) tend vers 0, alors la limite de la suite (Vn) vaut 160.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !

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