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Exercice Math sur la récurrence.

33p16 :

 

Énonce : On pose Sn = 1²+2²+3²+...+n² où n est un entier naturel, n >= 1

 

1)a) Calculez S1, S2, S3, S4 .

b)Exprimez Sn+1 en fonction de Sn.

2)Démontrez par récurrence que pour tout naturel n >= 1

Sn = n(n+1) (2n+1)

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Correction :

1)a) S1=1 S2=5 S3=14 et S4 = 30

(il suffisait ici de remplacer n par 1 ,2 ,3 ou 4; par exemple S4 = 1²+2²+3²+4² = 30, pour S2=1²+2²=5)

b)Sn+1 = Sn+(n+1)² (n >= 1)

2)L'initialisation :

Il s'agit de démontrer que pour n=1 Sn = n(n+1)(2n+1)

6

D'une part Sn = 1² = 1 (on a repris la formule de départ (Sn = 1²+2² …) avec n = 1)

D'autre part n(n+1)(2n+1) = 1 lorsque que l'on remplace n part 1

6

=>1(1+1)(2*1+1) = 6 = 1

6                 6

L'égalité est donc vraie pour n=1

L'hérédité :

On suppose que pour un entier naturel n >= 1 Sn = n(n+1)(2n+1)

6

Nous allons démontrer pour tout entier naturel Sn+1 = (n+1)(n+2)(2(n+1)+1)

6

= (n+1)(n+2)(2n+3)

6

(Il faudra toujours employer cette « structure » : On suppose ce que l'on a vérifié dans l'initialisation et ensuite on dit ce que l'on veut démontré (on veut démontrer l'hérédité).)

D'après le 1)b) Sn+1= Sn+(n+1)²

Donc Sn+1 = n(n+1)(2n+1) + (n+1)²

6

= n(n+1)(2n+1)+6(n+1)²

6

= (n+1)[n(2n+1)+6(n+1)] (Nous avons ici factorisé par (n+1) )

6

= (n+1)(2n²+7n+6) (Nous avons développé le contenu des crochet [])

6

D'autre part (n+2)(2n-3) = 2n²+7n+6

Donc Sn+1 = (n+1)(n+2)(2n+3)

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Conclusion :

Pour tout n >= 1, Sn = n(n+1)(2n+1)

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !