Introduction

Comme la courbe de croissance d'un enfant en fonction de son age ou encore la courbe d'IMC en fonction du poids et de la taille, beaucoup de choses qui nous entoure peuvent être exprimées sous forme de fonctions. Les fonctions sont nécessaires dans toutes sortes de domaines : géographie, économie, maths, physique, chimie, et bien d'autres encore !

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Qu'est ce qu'une fonction ?

Comment définir une fonction ?
Commençons par comprendre ce qu'est une fonction.

Une fonction est un ensemble d'opérations que l'on applique à une ou plusieurs variables.

En terminale, on étudie des fonctions à une seule variable, en général on note cette variable "x". La fonction associe à tout "x" un unique nombre qu'on appelle l'image. On note cette image f(x) où f est la fonction.

Une fonction est définie sur un ensemble. On note Df l'ensemble de définition de la fonction f. Dans les exercices, l'ensemble peut être donné ou à déduire. Pour déduire l'ensemble de définition, on fait notamment attention que le dénominateur d'une fraction ne peut être nul et que la fonction logarithme est définie seulement pour x positif.

Une fonction admet une représentation graphique que l'on peut facilement tracer dans un repère orthonormé. Souvent, on note Cf la courbe représentative de la fonction f.

La majorité des fonctions que l'on étudie en terminale sont dérivables sur leur ensemble de définition et donc continues.

Une fonction possède différentes particularités que l'on va étudier ci dessous.

Parité d'une fonction

L'une des propriétés d'une fonction f est sa parité.

Une fonction est paire si f(x)=f(-x). Si c'est le cas, la courbe représentative de la fonction admet un axe de symétrie : c'est l'axe des ordonnées. Par exemple, la fonction

    \[f(x)=x^4+3x^2+1\]

est paire.

Une fonction est impaire si f(-x)=-f(x). Si c'est le cas, la courbe représentative de la fonction admet une symétrie centrale par rapport à l'origine du repère. Par exemple, la fonction

    \[f(x)=-2x^3+5x\]

est impaire.

Qu'est ce que la parité d'une fonction ?
En traçant la fonction dans un repère orthonormé, on observe bien que la courbe représentative de la fonction admet une symétrie centrale par rapport au point 0.

Une fonction peut bien entendu être ni paire ni impaire ou bien ne l'être que sur un intervalle restreint.

Signe d'une fonction

Il n'est pas toujours simple d'étudier le signe d'une fonction, de connaître quand est ce qu'elle est positive et quand est ce qu'elle est négative. Attention à ne pas confondre positive et croissante !!!

Nous savons qu'un nombre au carré est positif.

Concernant les fonctions exponentielle et logarithme, on sait que la fonction exponentielle est toujours positive et que la fonction logarithme est négative pour 0<x<1 et positive pour x>1.

Nous savons étudier le signe d'une fonction affine ainsi que d'un polynôme du second degré grâce au discriminant.

Par exemple,

    \[f(x)=2x-3\]

    \[2x-3=0 \Leftrightarrow 2x=3 \Leftrightarrow x=1,5\]

Comme le coefficient directeur, 2, est positif alors la fonction est négative sur

    \[]-\infty,1,5[\]

et positive sur

    \[]1,5,\infty[\]

Un autre exemple, la fonction

    \[g(x)=3x^2-4x+1\]

Pour connaître le signe d'un polynôme du second degré on calcule le discriminant.

    \[\triangle=b^2-4ac=(-4)^2-4\times3\times1=16-12=4\]

Le discriminant est positif donc g(x) admet deux racines distinctes x1 et x2. On a

    \[x1=\frac{1}{3}\]

et

    \[x2=1\]

. Comme a=3>0, alors la fonction est positive sur

    \[]-\infty,\frac{1}{3}[U]1,+\infty[\]

et négative sur

    \[]\frac{1}{3},1[\]

Pour toutes autres fonctions, seule leur forme factorisée où les facteurs sont des polynômes du premier ou du second degré permet de connaître le signe de la fonction. On fait pour cela un tableau de signe.

Enfin, lorsque l'on connait les variations d'une fonction continue et que celle-ci est monotone par morceaux, on peut utiliser le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) pour déduire combien admet de solution l'équation f(x)=0 . On peut donc connaître approximativement les valeurs où la fonction s'annule par dichotomie et donc en déduire le signe de la fonction.

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Variations d'une fonction

Les variations d'une fonction représentent sa direction, c'est à dire si la fonction est croissante, décroissante ou constante.

Nous connaissons déjà les variations de certaines fonctions étudiées en classe de première. La fonction inverse est strictement décroissante sur son ensemble de définition, la fonction racine carré est strictement croissante sur son ensemble de définition et enfin, la fonction carrée est décroissante jusqu'au point 0 puis croissante.

Concernant les fonctions exponentielle et logarithme, nous savons qu'elles sont toutes les deux croissantes.

Pour les fonctions affines, représentées graphiquement par des droites, les variations dépendent du coefficient directeur. Si celui-ci est positif, la fonction est croissante et s'il est négatif, la fonction est décroissante.

Pour les polynômes du second degré, représentés graphiquement par des paraboles, les variations dépendent du coefficient du terme de plus haut degré. Pour un polynôme de la forme

    \[ax^2+bx+c\]

Si a est positif, la fonction est décroissante jusqu'à son minimum qui est

    \[\frac{-b}{2a}\]

puis croissante. Si a est négatif, la fonction est croissante jusqu'à son minimum puis décroissante.

Pour déterminer les variations d'une fonction quelconque, on étudie le signe de sa dérivée. Si la dérivée est positive sur un intervalle I, alors f est croissante sur I. A l'inverse, si la dérivée est négative sur un intervalle J, alors f est décroissante sur J.

On peut aussi regarder la représentation graphique d'une fonction pour conjecturer ses variations.

Par exemple, cherchons les variations de la fonction f définie par

    \[f(x)=x^3-2x^2+x-5\]

Sa dérivée est

    \[f'(x)=3x^2-4x+1\]

Nous avons étudié le signe de cette fonction précédemment. On peut donc utilisé ce signe pour tracer un tableau de signe puis de variation.

Qu'est ce qu'un tableau de signe et un tableau de variation ?
Voici le tableau de signe de f'(x) suivi du tableau de variation de f.

On en déduit donc que la fonction est croissante sur

    \[]-\infty,\frac{1}{3}[\]

et sur

    \[]1,+\infty[\]

et elle est décroissante sur

    \[]\frac{1}{3},1[\]

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Limites d'une fonction

Les limites qui vont nous intéresser sont en +∞ et -∞ ainsi qu'aux points où la fonction n'est pas définie. On appelle ça les limites aux bornes de la fonction.

Lors du calcul des limites, on fait attention aux formes indéterminées. On répertorie les différentes opérations possibles sur les limites dans les tableaux ci dessous :

Limite d'une somme :

lim UnLLL+∞+∞
lim VnL'+∞-∞+∞-∞
lim (Un+Vn)L+L'+∞-∞+∞forme indéterminée

Limite d'un produit :

lim UnLL>0L>0L<0L<0+∞+∞-∞0
lim VnL'+∞-∞+∞-∞+∞-∞-∞+∞ ou -∞
lim (Un x Vn)L x L'+∞-∞-∞+∞+∞-∞+∞forme indéterminée

Limite d'un quotient :

lim UnLL+∞-∞L≠00+∞ ou -∞
lim VnL'≠0+∞ ou -∞L≠0L≠000+∞ ou -∞
lim (Un/Vn)L/L'0+∞ si L>0
-∞ si L<0
-∞ si L>0
+∞ si L<0
+∞ ou -∞forme indéterminéeforme indéterminée

Lorsque l'on obtient une forme indéterminée, on modifie la forme de la fonction afin de l'éliminer et d'étudier la limite de la fonction sous un autre angle.

Pour les polynômes, la limite en +∞ (respectivement -∞) est égale à la limite du terme de plus haut degré en +∞ (respectivement -∞).

De même, pour une fonction rationnelle, la limite en +∞ (respectivement -∞) est égale à la limite en +∞ (respectivement -∞) du rapport du terme de plus haut degré du numérateur sur le terme de plus haut degré du dénominateur.

Exercice

On souhaite étudier la fonction

    \[f(x)=\frac{x^3-2x^2-5x-1}{2x+3}\]

  1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
  2. Montrer que la dérivée de f est

        \[\frac{(x+1)(4x^2+x-13)}{(2x+3)^2}\]

  3. En déduire les variations de la fonction
  4. Déterminer les limites aux bornes
  5. Montrer qu'il existe exactement trois solutions à l'équation f(x)=0 et les approcher au centième près
  6. En déduire le signe de f

Dans un premier temps, pour avoir une idée de notre fonction, nous pouvons la tracer sur notre calculatrice. Cela nous permettra ensuite de vérifier si les résultats trouvés sont corrects.

Qu'est ce que la dérivée d'une fonction ?
Voici la représentation graphique de notre fonction. Nous pouvons observer ses variations, son signe et éventuellement conjecturer les limites.

1. Nous avons ici une fonction rationnelle. Pour connaître l'ensemble de définition on regarde si le dénominateur s'annule et si oui en quelle valeur. Ici,

    \[2x+3=0 \Leftrightarrow x=-1,5\]

quelque soit x. Le dénominateur s'annule uniquement en x=-1,5. Donc la fonction est définie sur R\{-1,5}.

2. On calcule la dérivée de f notée f '

    \[f=\frac{u}{v}\]

d'où

    \[f'=\frac{u'v-v'u}{v^2}\]

    \[u(x)=x^3-2x^2-5x-1\]

et

    \[v(x)=2x+3\]

On a

    \[u'(x)=3x^2-4x-5\]

et

    \[v'(x)=2\]

On obtient finalement que

    \[f'(x)=\frac{(3x^2-4x-5)(2x+3)}{(2x+3)^2}\]

    \[+\frac{-2(x^3-2x^2-5x-1)}{(2x+3)^2}\]

    \[=\frac{4x^3+5x^2-12x-13}{(2x+3)^2}\]

Or, en développant on a

    \[\frac{(x+1)(4x^2+x-13)}{(2x+3)^2}=\frac{4x^3+5x^2-12x-13}{(2x+3)^2}\]

Donc on a bien

    \[f'(x)=\frac{(x+1)(4x^2+x-13)}{(2x+3)^2}\]

3. Il faut maintenant étudier le signe de f ' pour en déduire les variations de f.

On regarde le signe de chacun des facteurs de f' que l'on répertorie dans un tableau de signe.

On étudie le signe de

    \[4x^2+x-13\]

    \[\triangle=1-4\times4\times(-13)=1+208=209\]

    \[x1=\frac{-1-\sqrt209}{8}\]

x1 vaut environ -1,93

    \[x2=\frac{-1+\sqrt209}{8}\]

x2 vaut environ 1,68

On peut faire notre tableau de signe, suivi du tableau de variation.

Comment trouver les variations d'une fonction ?
Voici le tableau de signe que l'on obtient suivi du tableau de variation de la fonction en conséquence. On note bien que f n'est pas définie en -1,5.

f est donc croissante sur  [x1,-1,5[, sur ]-1,5,-1] et sur [x2,+∞[ et f est décroissante sur]-∞,x1] et sur [-1,x2]

4. Regardons les limites aux bornes c'est à dire en +∞, en -∞ et en -1,5.

    \[\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x^3}{2x}=\lim_{x \rightarrow +\infty}0,5x^2=+\infty\]

    \[\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{x^3}{2x}=\lim_{x \rightarrow -\infty}0,5x^2=+\infty\]

    \[\lim_{x \rightarrow -1,5+}f(x)=\lim_{x \rightarrow -1,5+}\frac{x^3-2x^2-5x-1}{2x+3}\]

    \[=\frac{-1,375}{0+}=-\infty\]

    \[\lim_{x \rightarrow -1,5-}f(x)=\lim_{x \rightarrow -1,5-}\frac{x^3-2x^2-5x-1}{2x+3}\]

    \[=\frac{-1,375}{0-}=-\infty\]

5. Pour compléter entièrement notre tableau de variation, on calcule f(x1), f(x2) et f(-1) afin de connaître la valeur de f(x) à chacun de ses extrema.

On a environ f(x1)=6,96, f(x2)=-1,62 et on a f(-1)=1

On applique le théorème de la bijection :

La fonction est continue sur son ensemble de définition.

Sur ]-∞,-1,5[, la fonction est strictement positive car f(x1)=6,96 et c'est le minimum atteint par la fonction f. Donc f(x)=0 n'admet aucune solution.

Sur ]-1,5,-1[, la fonction est strictement croissante et f(x) est compris entre -∞ et 1. Donc l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur cet intervalle.

Sur ]-1,x2[, la fonction est strictement décroissante et f(x) est compris entre 1 et -1,62. Donc l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur cet intervalle.

Enfin, sur ]x2,+∞[, la fonction est strictement croissante et f(x) est compris entre -1,62 et +∞. Donc l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur cet intervalle.

Au total, l'équation f(x)=0 admet exactement trois solutions. Grâce à la méthode de dichotomie et à l'aide de la calculatrice (mode table), on peut approximer ces trois solutions :

    \[\alpha\approx-1,29\]

    \[\beta\approx-0,22\]

    \[\gamma\approx3,51\]

6. Finalement, f est positive sur ]-∞,-1,5[, sur

    \[]\alpha, \beta[\]

et sur

    \[]\gamma ,+\infty[\]

A l'inverse, f est négative sur

    \[]1,5, \alpha[\]

et sur

    \[]\beta, \gamma[\]

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