Voir cours sur le dérivation
Exemple :
f(x) = √x, définie sur [ 0 ; +∞ [.
Soit a appartient a [ 0 ; +∞ [.
F est elle dériavble en a ?
Nous allons utiliser la fomule de dérivation vu dans le cours :
(f(x) - f(a)) / (x-a)
Ce qui donne : (√x -√a) / (x-a)
En utilisant la quantité conjuguée ( voir cours pour lever des indeterminations ),
nous arrivons à : 1 / (√x + √a)
Nous faisons maintenant la limite au numérateur et au dénominateur :
lim 1 = 1 et lim √x + √a = 2√a
x~>a x~>a
Par quotient lim (f(x) - f(a)) / (x-a) = 1/(2√a)
x~>a
f est donc dérivable sur ] 0 ; +∞ [
Cas ou a = 0 : (f(x) - f(0)) / (x-0) = √x/x = 1/√x
lim 1/√x = +∞ donc f n'est pas dérivable en 0.
x~>0
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