Chapitres
Exercice
Cet exercice comporte 2 parties qui
peuvent être traitées de manière indépendante.
PARTIE 1
1. Dans un questionnaire à
choix multiple (QCM), pour une question donnée, 3 réponses
sont proposées dont une seule est
exacte.
Un candidat décide de répondre
au hasard à cette question.
La réponse exacte rapporte n
point(s) et une réponse fausse fait perdre p point(s).
Soit N la variable aléatoire
qui associe, à la réponse donnée par le
candidat, la note algébrique
qui lui sera attribuée pour
cette question.
a. Donner la loi de probabilité
de N.
b. Quelle relation doit exister entre
n et p pour que l'espérance mathématique de N soit
nulle?
2. À un concours, un candidat
doit répondre à un QCM de 4 questions comportant
chacune
trois propositions de réponse
dont une seule est exacte. On suppose qu'il répond à
chaque
question, au hasard. Calculer la
probabilité qu'il réponde correctement à 3
questions exactement (donner cette probabilité sous forme de
fraction irréductible puis sa valeur arrondie au centième).
PARTIE 2
Répondre au QCM
Pour chaque question, une seule réponse
est exacte.Il est seulement demandé d'entourer la réponse
choisie pour chacune des quatre questions.
L'absence de réponse à
une question ne sera pas pénalisée.
a. On dispose de dix jetons numérotés
de 1 à 10 et on en extrait simultanément trois pour
former un « paquet ». Combien de « paquets »
contenant au moins un jeton ayant un numéro pair peut-on ainsi
former (cour de math)?
| Réponse | Réponse | Réponse |
| 180 | 330 | 110 |
b. A et B sont deux événements
d'un espace probabilisé tels que :
Combien vaut p(A∩B)
?
| Réponse | Réponse | Réponse |
| p(A∩B)=0,1 | p(A | Les |
| insuffisantes |
c. A et B sont deux événements
d'un espace probabilisé tels que: p(B ∩
A) = 1/6 et pA(B) = 1/4 (probabilité conditionnelle de B
sachant que A est réalisé).
Combien vaut p(A) ?
| Réponse | Réponse | Réponse |
| p(A) | p(A) | p(A)= |
d. Une variable aléatoire X a
pour loi de probabilité:
-
xi
1
2
4
Pi
1
/ 21
/ 41
/ 4
Combien vaut l'écart type de X ?
| Réponse | Réponse | Réponse |
| σ | σ | σ = 2 |
Correction de l'exercice
PARTIE 1
1. a. Le candidat répond au
hasard. La probabilité qu'il donne la bonne réponse est
donc 1 / 3 et la probabilité qu'il ne donne pas la bonne
réponse est 2 / 3.
La variable N prend les valeurs n et -p
et, d'après ce qui précède,
p(N = n) = 1 / 3 et
p(N = -p) = 2 /3
b. Calculons l'espérance
mathématique de N :
E(N) = n * 1 / 3 + (- p) * 2 / 3
Soit E(N) = (n – 2p) / 3
L'espérance de N est nulle si et
seulement si n = 2p.
2. On est dans un schéma de
Bernoulli.
Pour chaque question, le candidat a une
probabilité 1 / 3 de répondre correctement et 2 / 3 de
ne pas répondre correctement. La probabilité de
répondre correctement à 3 questions fixées et de
ne pas repondre correctement à la quatrième est (1 / 3)3 * 2 / 3 puisque les réponses sont
indépendantes. On a
choix possibles pour les 3 réponses
auxquelles il a répondu correctement.
La probabilité cherchée
est donc :
p = 4 * (1 / 3)3
* 2 / 3 soit p = 8 / 81 ≈
0.10.
PARTIE 2
1. a. Un paquet de jetons est une
combinaison de 3 jetons pris parmi 10 ; il y en a :
Le nombre de « paquets» ne
contenant pas de jetons pairs est :
(on extrait 3 jetons de l'ensemble des
jetons impairs).
Il y a donc 120 – 10 = 110 paquets
contenant au moins un jeton portant un numéro pair.
La réponse exacte est la réponse
3.
b. On dispose de la formule :
p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A ∩
B)
et donc p(A ∩
B) = p(A) + p(B) - p(A U B)
Sachant que p(A U B) = 1 - 0,35 =
0,65
On obtient : p(A ∩
B) = 0,4 + 0,5 - 0,65
Soit p(A ∩
B) = 0,25.
La réponse exacte est la réponse
2.
c. On a, par définition, PA
(B) = p(A ∩ B) / p(A)
On a déduit p(A) = p(A ∩
B) / PA (B) = (1 / 6) / (1 / 4)
Soit p(A) = 2 / 3
La réponse exacte est la réponse
1.
d. Par définition on a :
σ²
= V(X) = E(X²) = (E(X))²
On obtient E(X) = 1/2*1 + 1/4*2 + 1/4*4
= ½ + ½ + 1 = 2
E(X²) = 1/2*1² + 1/4*2²
+ 1/4*4² = ½ + 1 + 4 = 11 / 2
On en déduit : σ²
= 11/2 – 4 = 3 / 2
Et donc σ
= √(3/2)
La réponse exacte est la réponse
2.
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