Chapitres
Exercice
Cet exercice comporte 2 parties qui
peuvent être traitées de manière indépendante.
PARTIE 1
1. Dans un questionnaire à
choix multiple (QCM), pour une question donnée, 3 réponses
sont proposées dont une seule est
exacte.
Un candidat décide de répondre
au hasard à cette question.
La réponse exacte rapporte n
point(s) et une réponse fausse fait perdre p point(s).
Soit N la variable aléatoire
qui associe, à la réponse donnée par le
candidat, la note algébrique
qui lui sera attribuée pour
cette question.
a. Donner la loi de probabilité
de N.
b. Quelle relation doit exister entre
n et p pour que l'espérance mathématique de N soit
nulle?
2. À un concours, un candidat
doit répondre à un QCM de 4 questions comportant
chacune
trois propositions de réponse
dont une seule est exacte. On suppose qu'il répond à
chaque
question, au hasard. Calculer la
probabilité qu'il réponde correctement à 3
questions exactement (donner cette probabilité sous forme de
fraction irréductible puis sa valeur arrondie au centième).
PARTIE 2
Répondre au QCM
Pour chaque question, une seule réponse
est exacte.Il est seulement demandé d'entourer la réponse
choisie pour chacune des quatre questions.
L'absence de réponse à
une question ne sera pas pénalisée.
a. On dispose de dix jetons numérotés
de 1 à 10 et on en extrait simultanément trois pour
former un « paquet ». Combien de « paquets »
contenant au moins un jeton ayant un numéro pair peut-on ainsi
former (cour de math)?
| Réponse | Réponse | Réponse |
| 180 | 330 | 110 |
b. A et B sont deux événements
d'un espace probabilisé tels que :
Combien vaut p(A∩B)
?
| Réponse | Réponse | Réponse |
| p(A∩B)=0,1 | p(A | Les |
| insuffisantes |
c. A et B sont deux événements
d'un espace probabilisé tels que: p(B ∩
A) = 1/6 et pA(B) = 1/4 (probabilité conditionnelle de B
sachant que A est réalisé).
Combien vaut p(A) ?
| Réponse | Réponse | Réponse |
| p(A) | p(A) | p(A)= |
d. Une variable aléatoire X a
pour loi de probabilité:
-
xi
1
2
4
Pi
1
/ 21
/ 41
/ 4
Combien vaut l'écart type de X ?
| Réponse | Réponse | Réponse |
| σ | σ | σ = 2 |
Correction de l'exercice
PARTIE 1
1. a. Le candidat répond au
hasard. La probabilité qu'il donne la bonne réponse est
donc 1 / 3 et la probabilité qu'il ne donne pas la bonne
réponse est 2 / 3.
La variable N prend les valeurs n et -p
et, d'après ce qui précède,
p(N = n) = 1 / 3 et
p(N = -p) = 2 /3
b. Calculons l'espérance
mathématique de N :
E(N) = n * 1 / 3 + (- p) * 2 / 3
Soit E(N) = (n – 2p) / 3
L'espérance de N est nulle si et
seulement si n = 2p.
2. On est dans un schéma de
Bernoulli.
Pour chaque question, le candidat a une
probabilité 1 / 3 de répondre correctement et 2 / 3 de
ne pas répondre correctement. La probabilité de
répondre correctement à 3 questions fixées et de
ne pas repondre correctement à la quatrième est (1 / 3)3 * 2 / 3 puisque les réponses sont
indépendantes. On a
choix possibles pour les 3 réponses
auxquelles il a répondu correctement.
La probabilité cherchée
est donc :
p = 4 * (1 / 3)3
* 2 / 3 soit p = 8 / 81 ≈
0.10.
PARTIE 2
1. a. Un paquet de jetons est une
combinaison de 3 jetons pris parmi 10 ; il y en a :
Le nombre de « paquets» ne
contenant pas de jetons pairs est :
(on extrait 3 jetons de l'ensemble des
jetons impairs).
Il y a donc 120 – 10 = 110 paquets
contenant au moins un jeton portant un numéro pair.
La réponse exacte est la réponse
3.
b. On dispose de la formule :
p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A ∩
B)
et donc p(A ∩
B) = p(A) + p(B) - p(A U B)
Sachant que p(A U B) = 1 - 0,35 =
0,65
On obtient : p(A ∩
B) = 0,4 + 0,5 - 0,65
Soit p(A ∩
B) = 0,25.
La réponse exacte est la réponse
2.
c. On a, par définition, PA
(B) = p(A ∩ B) / p(A)
On a déduit p(A) = p(A ∩
B) / PA (B) = (1 / 6) / (1 / 4)
Soit p(A) = 2 / 3
La réponse exacte est la réponse
1.
d. Par définition on a :
σ²
= V(X) = E(X²) = (E(X))²
On obtient E(X) = 1/2*1 + 1/4*2 + 1/4*4
= ½ + ½ + 1 = 2
E(X²) = 1/2*1² + 1/4*2²
+ 1/4*4² = ½ + 1 + 4 = 11 / 2
On en déduit : σ²
= 11/2 – 4 = 3 / 2
Et donc σ
= √(3/2)
La réponse exacte est la réponse
2.
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S’il vous plaît je ne sait pas comment faut il traité cet exercice l’énoncé est le suivant :
Un etudiant repond au hasard aux 10 questions qcm pour chaque question 5 réponses sont proposées dont une seule est exacte X la variable aléatoire égale au nombre de bonnes reponses
1/ donner la loi de probabilite
2/ calculer la probabilité d’avoir au moins 5 bonnes réponses
3/calculer l’espérance et l’écart type
Grand merci
Bonjour, nous ne faisons pas les devoirs pour les élèves cependant nos professeurs se feront un plaisir de vous aider, contactez-les !
Le candidat se présente à un oral de concours. Le jury qui l’a convoqué lui pose 20 questions. Pour chaque question, le même nombre k > 2 de réponses lui sont proposées dont une et une seule est la bonne. Le candidat qui n’a pas travaillé son oral, choisit au hasard une des réponses proposées. 1. Le jury attribue un point par bonne réponse. Soit X le nombre de points obtenus à l’issue de l’oral. Quelle est la loi de la variable aléatoire X7 2. Lorsque le candidat donne une mauvaise réponse, il peut choisir à nouveau une des autres réponses proposées. Le jury lui attribue alors 1/2 point par bonne réponse. Soit y le nombre de 1/2 points obtenus lors de ces secondes tentatives Quelle est la loi de la variable aéatoire Y? 3. Soit T le nombre total de points obtenus. Déterminez k pour que le candidat obtienne en moyenne une note supérieure ou égale à 10 sur 20 afin qu’il soit admis