Exercice

Cet exercice comporte 2 parties qui
peuvent être traitées de manière indépendante.

PARTIE 1

1. Dans un questionnaire à
choix multiple (QCM), pour une question donnée, 3 réponses
sont proposées dont une seule est
exacte.
Un candidat décide de répondre
au hasard à cette question.
La réponse exacte rapporte n
point(s) et une réponse fausse fait perdre p point(s).
Soit N la variable aléatoire
qui associe, à la réponse donnée par le
candidat, la note algébrique
qui lui sera attribuée pour
cette question.

a. Donner la loi de probabilité
de N.

b. Quelle relation doit exister entre
n et p pour que l'espérance mathématique de N soit
nulle?

2. À un concours, un candidat
doit répondre à un QCM de 4 questions comportant
chacune
trois propositions de réponse
dont une seule est exacte. On suppose qu'il répond à
chaque
question, au hasard. Calculer la
probabilité qu'il réponde correctement à 3
questions exactement (donner cette probabilité sous forme de
fraction irréductible puis sa valeur arrondie au centième).

 

PARTIE 2

Répondre au QCM

Pour chaque question, une seule réponse
est exacte.Il est seulement demandé d'entourer la réponse
choisie pour chacune des quatre questions.
L'absence de réponse à
une question ne sera pas pénalisée.

a. On dispose de dix jetons numérotés
de 1 à 10 et on en extrait simultanément trois pour
former un « paquet ». Combien de « paquets »
contenant au moins un jeton ayant un numéro pair peut-on ainsi
former (cour de math)?

Réponse
1
:

Réponse
2 :

Réponse
3 :

180

330

110

 

 

 

 

b. A et B sont deux événements
d'un espace probabilisé tels que :
Combien vaut p(A∩B)
?

Réponse
1 :

Réponse
2 :

Réponse
3 :

p(A∩B)=0,1

p(A
∩B)
= 0,25

Les
données sont

insuffisantes
pour répondre

 

 

 

 

 

 

c. A et B sont deux événements
d'un espace probabilisé tels que: p(B ∩
A) = 1/6 et pA(B) = 1/4 (probabilité conditionnelle de B
sachant que A est réalisé).
Combien vaut p(A) ?

Réponse
1 :

Réponse
2 :

Réponse
3 :

p(A)
= 2/3

p(A)
= 1/24

p(A)=
1/12

 

 

 

 

d. Une variable aléatoire X a
pour loi de probabilité:

xi

1

2

4

Pi

1
/ 2

1
/ 4

1
/ 4

Combien vaut l'écart type de X ?

Réponse
1 :

Réponse
2 :

Réponse
3 :

σ
= 3 / 2

σ
= √(3 / 2)

σ = 2

 

 

 

 

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Correction de l'exercice

PARTIE 1

1. a. Le candidat répond au
hasard. La probabilité qu'il donne la bonne réponse est
donc 1 / 3 et la probabilité qu'il ne donne pas la bonne
réponse est 2 / 3.
La variable N prend les valeurs n et -p
et, d'après ce qui précède,

p(N = n) = 1 / 3 et
p(N = -p) = 2 /3

b. Calculons l'espérance
mathématique de N :

E(N) = n * 1 / 3 + (- p) * 2 / 3

Soit E(N) = (n – 2p) / 3

L'espérance de N est nulle si et
seulement si n = 2p.

2. On est dans un schéma de
Bernoulli.
Pour chaque question, le candidat a une
probabilité 1 / 3 de répondre correctement et 2 / 3 de
ne pas répondre correctement. La probabilité de
répondre correctement à 3 questions fixées et de
ne pas repondre correctement à la quatrième est (1 / 3)3 * 2 / 3 puisque les réponses sont
indépendantes. On a

choix possibles pour les 3 réponses
auxquelles il a répondu correctement.
La probabilité cherchée
est donc :

p = 4 * (1 / 3)3
* 2 / 3 soit p = 8 / 81 ≈
0.10.

PARTIE 2

1. a. Un paquet de jetons est une
combinaison de 3 jetons pris parmi 10 ; il y en a :

Le nombre de « paquets» ne
contenant pas de jetons pairs est :

(on extrait 3 jetons de l'ensemble des
jetons impairs).
Il y a donc 120 – 10 = 110 paquets
contenant au moins un jeton portant un numéro pair.
La réponse exacte est la réponse
3.

b. On dispose de la formule :
p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A ∩
B)
et donc p(A ∩
B) = p(A) + p(B) - p(A U B)

Sachant que p(A U B) = 1 - 0,35 =
0,65
On obtient : p(A ∩
B) = 0,4 + 0,5 - 0,65

Soit p(A ∩
B) = 0,25.
La réponse exacte est la réponse
2.

c. On a, par définition, PA
(B) = p(A ∩ B) / p(A)
On a déduit p(A) = p(A ∩
B) / PA (B) = (1 / 6) / (1 / 4)
Soit p(A) = 2 / 3
La réponse exacte est la réponse
1.

d. Par définition on a :
σ²
= V(X) = E(X²) = (E(X))²

On obtient E(X) = 1/2*1 + 1/4*2 + 1/4*4
= ½ + ½ + 1 = 2

E(X²) = 1/2*1² + 1/4*2²
+ 1/4*4² = ½ + 1 + 4 = 11 / 2

On en déduit : σ²
= 11/2 – 4 = 3 / 2
Et donc σ
= √(3/2)
La réponse exacte est la réponse
2.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !