Soit f:x->exp(k.x)/x                avec k un réel

On note (C) la courbe représentative de cette fonction, (T) la tangente à cette courbe au point M d'abscisse 2.

On note (D) la droite perpendiculaire à (T) passant par M. Cette droite coupe l'axe (0x) en N. Calculer les coordonnées du point N

Rappels de cours

  • On sait que l'equation de la tangente à (C) a pour équation :

yT = f'(m).(x-m) + f(m)  avec m abscisse du point M, c'est à dire m=2

  • Calculons f' puis yT

f'(x) = (u'v-uv')/v2 = [exp(k.x).(kx -1)] / x2

f'(2) = [exp(2k).(2k -1)] / 4

D'où yT =  [exp(2k).(2k -1) / 4] x -0,5.[exp(2k).(2k -1)] + exp(2k) / 2

=  [exp(2k).(2k -1) / 4] x + exp(2k).[1 -k]

  • On peut utiliser le produit scalaire pour trouver l'equation de (D).

Rappel : Si u(a1;b1) et v(a2;b2) sont 2 vecteurs, dans une base orthonormale leur produit scalaire est : vecteur(u).vecteur(v)=a1.a2+b1.b2

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Exemple

(T) a pour vecteur directeur uT( 1; [exp(2k).(2k -1)] / 4 ).

En effet si j'avance de 1 sur l'axe de mes abscisses, je monte de [exp(2k).(2k -1)] / 4  sur l'axe de mes ordonnées.  (le coefficient devant x étant la pente de ma droite affine)

On pose ainsi  uD(1; CD) un coefficient directeur de ma droite (D) avec CD à déterminer.

On sait que uT.uD = 0 car (D) et (T) perpendiculaires.

Donc 1.1+CD.[exp(2k).(2k -1)] / 4 = 0

Soit CD =- 4 / [exp(2k).(2k -1)]

On en déduit l'équation de yD :

yD = CD.(x-2) + f(2)     (car (D) et (T) se coupent en M d'abscisse 2)

yD = - 4 / [exp(2k).(2k -1)].(x-2) + exp(2k) / 2

  • On cherche N tel que :

yD(x) = 0    car N est l'intersection entre yD et l'axe des abscisses.

- 4 / [exp(2k).(2k -1)].(x-2) + exp(2k) / 2 = 0

x = 2 + exp(4k).(2k-1) / 8

les coordonnées de N sont donc :

N (2 + exp(4k).(2k-1) / 8 ; 0)

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !