Exercice 1

Ecrire plus simplement :

a. ln 2x + ln 3

b. ln (2x + 2) – ln (x + 1)

c. ln (5x)*ln(2x)

d. (ln (2x + 1) + ln(2))²

e. ln 12 – ln 6

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Exercice 2

Résoudre dans R les équations suivantes :

a. ln x = 3

b. ln x = -2

c. ln x - ln 5 = 0

Exercice 3

Résoudre dans R l'équation suivante :
ln x – ln (x + 1) = ln 2 - ln 4

Exercice 4

Pour chacune des fonctions suivantes, donner l'intervalle dans lequel f est dériveable puis donner sa dérivée.

a. f(x) = ln (3x + 1)

b. f(x) = 4.ln x

c. f(x) = ln (x² + 5x)

d. f(x) = ln (ex + 2)

e. f(x) = 2x² + 2(ln x)²

f. f(x) = exln x

Exercice 5

Résoudre dans R les inéquations suivantes :

a. ln x > ln (5x – 2)

b. ln (1 + ex) > 0

c. ln [(1 – ex) / (1 + ex)] ≥ 1

Correction de l'exercice 1

a. ln 2x + ln 3 = ln (6x)

b. ln (2x + 2) – ln (x + 1) = ln((2x + 2) / (x + 1)) = ln(2(x + 1) / (x + 1)) = ln 2

c. ln (5x)*ln(2x) ne peut pas se réduire.

d. (ln (2x + 1) + ln(2))² = (ln (4x + 2))²

e. ln 12 – ln 6 = ln 2

Correction de l'exercice 2

a. ln x = 3, donc x = e3.

b. ln x = -2, donc x = e-2.

c. ln x - ln 5 = 0
ln x/5 = 0
x/5 = e0 = 1
x = 5

Correction de l'exercice 3

ln x – ln (x + 1) = ln 2 - ln 4

ln (x / (x + 1)) = ln 2/4 = ln ½

x / (x + 1) = ½

2x = x + 1

x = 1

Correction de l'exercice 4

a. f(x) = ln (3x + 1)
f est définit et dériveable sur l'intervalle ]-1/3 ; +∞[.
f'(x) = 3 / (3x + 1)

b. f(x) = 4.ln x
f est définit et dériveable sur l'intervalle ]0; +∞[.
f'(x) = 4 / x

c. f(x) = ln (x² + 5x)
Résolvons tout d'abord x² + 5x = 0.
x(x + 5) = 0 => x = 0 ou x = -5.
f est donc définit et dériveable sur ]-∞ ; -5[ et sur ]0 ; +∞[.
f'(x) = (2x + 5) / (x² + 5x)

d. f(x) = ln (ex + 2)
f est dériveable sur R.
f'(x) = ex / (ex + 2)

e. f(x) = 2x² + 2(ln x)²
f est définit et dériveable sur ]0; +∞[.
f'(x) = 4x + 4*ln x / x

f. f(x) = exln x
f est définit et dériveable sur ]0; +∞[.
f'(x) = ex / x + exln x

Correction de l'exercice 5

a. ln x > ln (5x – 2) avec x > 0.
x > 5x – 2
4x < 3
x < 3 / 4
Ainsi on a x appartient à ]0 ; 3/4[.

b. ln (1 + ex) > 0
On sait que la fonction x -> ln x est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
De plus ln 1 = 0.
Ainsi on doit avoir 1 + ex > 1, ce qui est vrai pour tout x dans R.
Donc x appartient à R.

c. ln [(1 – ex) / (1 + ex)] ≥ 1
On a ln e = 1.
Ainsi,

(1 – ex) / (1 + ex) ≥ e
1 – ex ≥ e(1 + ex)
1 – ex ≥ e + e*ex
ex(1 + e) ≤ 1 – e
ex ≤ (1 – e)/(1 + e)
x ≤ ln [(1 – e)/(1 + e)]
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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !