Chapitres
Généralités

Fonction de variable réelle
Définition
Une fonction f de variable réelle et à valeurs réelles est la donnée d’un sous-ensemble de R noté Df , appelé ensemble de définition de la fonction f et d’un procédé qui à tout réel x appartenant à Df associe un unique réel noté f(x), appelé image de x par f.
Remarques :
- f(x) n’est pas une fonction !
- Si f(x) = y alors on dit que x est un antécédent de y par f.
- La variable x utilisée dans la définition est muette.
- Lorsque f est définie sur une partie de N, on convient de dire que f est une suite numérique (souvent notée u,v,w) et l’image par f d’un entier naturel est notée fn (ou plus fréquemment un,vn,wn).
Courbe représentative, graphe
Définitions
- Soit f une fonction numérique à variable réelle. Dans le plan muni d’un repère on appelle courbe représentative de f, notée Cf , l’ensemble des points de coordonnées (x, f(x)) où x ∈ Df .
- Le graphe de f est l’ensemble des couples (x, f(x)) où x ∈ Df , c’est un sous-ensemble de R²
Attention !
Ne pas confondre courbe représentative et graphe d’une fonction. La courbe représentative dépend du repère choisi, ce qui n’est pas le cas du graphe.
Sens de variation d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I
Définitions
- f est croissante sur I si : ∀(x, y) ∈ I² , x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)
- f est strictement croissante sur I si : ∀(x, y) ∈ I² , x < y ⇒ f(x) < f(y)
- f est décroissante sur I si : ∀(x, y) ∈ I² , x ≤ y ⇒ f(x) > f(y)
- f est strictement décroissante sur I si : ∀(x, y) ∈ I² , x < y ⇒ f(x) > f(y)
- f est constante sur I si : ∀(x, y) ∈ I² , f(x) = f(y)
- f est monotone sur I si f est croissante ou si f est décroissante sur I.
- f est strictement monotone sur I si f est strictement croissante ou si f est strictement décroissante sur I.
On rappelle un théorème reliant sens de variation et signe de la dérivée d’une fonction, ce théorème
sera démontré dans un chapitre ultérieur
Théorème 1
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
- f constante sur I ⇐⇒ f' nulle sur I.
- f croissante sur I ⇐⇒ f' positive sur I.
- f décroissante sur I ⇐⇒ f' négative sur I.
Attention !
Ces équivalences sont fausses si I n’est pas un intervalle.
Parité, périodicité

Définitions
Soit f une fonction définie sur Df et I ⊂ Df .
- On dit que f est paire sur I si :
- ∀x ∈ I, −x ∈ I
- ∀x ∈ I, f(−x) = f(x)
- On dit que f est impaire sur I si :
- ∀x ∈ I, −x ∈ I
- ∀x ∈ I, f(−x) = −f(x)
Exemples
- La fonction carrée est paire sur R ou sur [−1, 1] mais elle n’est pas paire sur [0, 1].
- La fonction cube est impaire sur R ou sur [−2, 2] mais elle n’est pas impaire sur [−2, 1].
- La fonction exponentielle n’est ni paire, ni impaire sur R.
- La fonction nulle est paire et impaire sur R.
Attention !
Le contraire de « la fonction n’est pas paire » n’est pas « la fonction est impaire » !
La proposition suivante montre l’intérêt de la notion de parité :
Proposition 1
Si f est une fonction paire (resp. impaire) sur Df alors on peut restreindre l’étude de f à Df ∩ R+ puisque :
- Si f est paire sur Df alors ses variations sur Df ∩ R+ et sur Df ∩ R− sont contraires.
Dans un repère orthogonal, Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. - Si f est impaire sur Df alors ses variations sur Df ∩ R+ et sur Df ∩ R− sont de même nature.
Dans un repère orthogonal, Cf est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Définition
Soit f une fonction numérique à variable réelle et T un réel strictement positif. On dit que f est T−périodique si :
- ∀x ∈ Df , x + T ∈ Df et x − T ∈ Df
- ∀x ∈ Df , f(x + T) = f(x)
Remarques :
- Le premier item de la définition ci-dessus équivaut à x ∈ Df ⇔ x + T ∈ Df .
- Il est clair que si f est T−périodique alors ∀n ∈ N∗, f est également nT−périodique.
La proposition suivante montre l’intérêt de la notion de périodicité :
Proposition 2
Si f est une fonction T−périodique sur Df alors on peut restreindre l’étude de f à Df ∩ [0, T] ou Df ∩ [−T/2 , T/2] puisque :
Si f est T−périodique sur Df alors ses variations sont de même nature sur tout ensemble du type [kT,(k + 1)T] ∩ Df où k ∈ Z.
Dans un repère orthogonal, Cf est obtenue par translations de vecteurs kT~i de la portion de courbe représentative de f sur [0, T] ∩ Df ou sur [−T/2 , T/2] ∩ Df .
Exemple
Les fonctions sinus et cosinus sont 2π−périodiques sur R.
Fonctions majorées, minorées, bornées
Définitions
Soit f une fonction et I une partie de Df .
- f est majorée sur I s’il existe un réel M tel que : ∀x ∈ I, f(x) ≤ M
On dit que M est un majorant de f sur I. - f est minorée sur I s’il existe un réel m tel que : ∀x ∈ I, f(x) ≥ m
On dit que m est un minorant de f sur I. - f est bornée sur I si f est majorée et minorée sur I.
Extréma
On distingue deux notions d’extréma chez les focntions numériques de variable réelle.
Définitions
Soit f une fonction numérique à variable réelle et x0 ∈ Df .
- f admet un maximum global en x0 si : ∀x ∈ Df , f(x) ≤ f(x0)
- f admet un minimum global en x0 si : ∀x ∈ Df , f(x) ≥ f(x0)
- f admet un extremum global en x0 si f admet un maximum global ou un minimum global en x0.
Définitions
Soit f une fonction numérique à variable réelle et x0 ∈ Df .
- f admet un maximum local en x0 s’il existe un intervalle I ⊂ Df tel que x0 ∈ I et ∀x ∈ I, f(x) ≤ f(x0).
- f admet un minimum local en x0 s’il existe un intervalle I ⊂ Df tel que x0 ∈ I et ∀x ∈ I, f(x) ≥ f(x0).
- f admet un extremum local en x0 si f admet un maximum local ou un minimum local en x0.
On rappelle un théorème reliant extréma et dérivée d’une fonction.
Théorème 2
Soit f une fonction dérivable sur Df et x0 ∈ Df .
Si f admet un extremum en x0 et si x0 n’est pas une extrémité de Df alors f'(x0) = 0.
Attention !
La réciproque de ce théorème est fausse.
Opérations algébriques sur les fonctions

Somme de deux fonctions
Définition
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.
On définit la fonction f + g par : ∀x ∈ I, (f + g)(x) = f(x) + g(x).
Proposition 3 : Sens de variation de f + g
- Si f et g sont (resp. strictement) croissantes sur I alors f +g est (resp. strictement) croissante sur I.
- Si f et g sont (resp. strictement) décroissantes sur I alors f + g est (resp. strictement) décroissante sur I.
Produit d’une fonction par un réel
Définition
Soient f une fonction définie sur un intervalle I et λ ∈ R.
On définit la fonction λ.f par : ∀x ∈ I, (λ.f)(x) = λ × f(x).
Proposition 4 : Sens de variation de λ.f
- Si λ > 0 alors λ.f et f ont même sens de variation sur I.
- Si λ < 0 alors λ.f et f ont des sens de variations contraires sur I.
Produit ou quotient de deux fonctions
Définition
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.
- On définit la fonction f × g par : ∀x ∈ I, (f × g)(x) = f(x) × g(x).
- Si g ne s’annule pas sur I alors on définit la fonction f/g par : ∀x ∈ I, (f/g)(x) = f(x)/g(x).
Attention !
On ne cherchera pas à établir de propriété concernant le sens de variation d’un produit ou d’un
quotient de fonctions
Composée de fonctions
Définition
Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur les intervalles I et J.
Si f(I) ⊂ J alors on définit la fonction g ◦ f par : ∀x ∈ I, (g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Attention !
Prendre garde à l’ordre dans l’écriture de la composée, en général la composée de deux fonctions
n’est pas commutative.
Proposition 5 : Sens de variation de g ◦ f
- Si f et g ont même sens de variation alors g ◦ f est croissante.
- Si f et g ont des sens de variation contraires alors g ◦ f est décroissante.
Fonctions usuelles
Fonctions puissances d’exposant entier
Définition
Soit n ∈ Z et f la fonction définie par : f(x) = xn.
- Si n ∈ N, alors Df = R et f est continue et dérivable sur R.
- Si n ∈ Z \ N, alors Df = R∗ et f est dérivable sur R∗.
De plus ∀x ∈ R∗ , f(x) = xn = 1/x−n .
Propriétés :
- Si n est pair (resp. impair) alors x → xn est paire (resp. impaire) sur R (resp. R∗).
- Si n ∈ N alors f est dérivable sur R et f' (x) = nxn-1. On établit ensuite facilement le sens de variation de f.
- Si n ∈ Z\N alors f est dérivable sur R∗ et la dérivée de f a la même expression algébrique que précédemment.
- Si n = −1 il s’agit de la fonction inverse.
- Si n = 0 il s’agit de la fonction constante égale à 1.
- Si n = 1 il s’agit de la fonction identité.
- Si n = 2 il s’agit de la fonction carrée.
- Si n = 3 il s’agit de la fonction cube.
- Le produit, le quotient ou la composée de deux fonctions puissances est une fonction puissance d’après les règles de calcul sur les exposants.
- Les limites aux bornes de l’ensemble de définition s’obtiennent facilement suivant le signe et la parité de n.
Fonction racine carrée
Définition
La fonction f définie par : f(x) = √x est appelée fonction racine carrée.
Df = R+ et f est continue sur R et dérivable sur R∗+.
Propriétés :
- f est dérivable sur R∗+, on démontre que f n’est pas dérivable en 0 en utilisant la définition de dérivabilité d’une fonction en un point.
- ∀x ∈ R∗+ , f'(x) = 1/2√x.
- La fonction racine carrée est strictement croissante sur R+.
- La fonction racine carrée est multiplicative, i.e : ∀(x, y) ∈ (R∗+)² , √(a × b) = √a × √b.
- La fonction racine carrée est la bijection réciproque de la fonction carrée sur R+, plus précisément :
∀x ∈ R+, (√x)² = √x² = x. - La limite de √x quand x tend vers +∞ est +∞
Attention !
On rappelle que si x < 0 alors √x² = −x.
Fonction logarithme népérien
Définition
La fonction inverse est continue sur R∗+ , elle possède donc des primitives sur R∗+.
La fonction logarithme népérien, notée ln, est l’unique primitive de la fonction inverse sur R∗+ qui s’annule en 1.
- ln x =∫x1 (1/t)dt.
- Dln = R∗+ et ln est continue et dérivable sur R∗+.
Propriétés :
- ∀x ∈ R∗+, ln'(x) = 1/x.
- ln est strictement croissante sur R∗+.
- Pour tous réels a et b strictement positifs
- ln(a × b) = ln a + ln b.
- ln(1/a) = − ln a.
- ln(a/b) = ln a − ln b.
- ∀n ∈ Z, ln (an) = n ln a.
- lim x→+∞ ln x = +∞ et lim x→0+ ln x = −∞.
- ln réalise une bijection de R∗+ sur R, il existe donc un unique réel dont le logarithme népérien vaut 1, ce réel est noté e.
ln e = 1, e ≈ 2, 71
Fonction exponentielle
Définition
La fonction ln réalise une bijection de R∗+ dans R, sa bijection réciproque, notée exp, est appelée fonction exponentielle.
La fonction exponentielle, notée exp, vérifie donc : ∀x ∈ R, ∀y ∈ R∗+, y = exp(x) ⇐⇒ x = ln(y).
Dexp = R et exp est continue et dérivable sur R.
Propriétés :
- ∀x ∈ R, exp'(x) = exp(x).
- exp est strictement croissante sur R.
- lim x→+∞ exp(x) = +∞ et lim x→−∞ exp(x) = 0.
- Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction exponentielle est la symétrique de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien par rapport à la première bissectrice du repère.
- ∀(a, b) ∈ R² , exp(a + b) = exp(a) × exp(b).
- ∀x ∈ R, exp(x) > 0.
- exp(0) = 1, exp(1) = e.
- ∀x ∈ R, ln(exp(x)) = x.
- ∀x ∈ R∗+, exp(ln(x)) = x.
- ∀x ∈ R, exp(−x) = 1/exp(x).
- ∀(x, y) ∈ R² , exp(x − y) = exp(x)/exp(y).
- ∀x ∈ R, ∀n ∈ Z, [exp(x)]n = exp(nx).
- ∀n ∈ Z, [exp(1)]n = exp(n) i.e : en = exp(n)
Cette dernière propriété s’étend à tous les nombres réels : ∀x ∈ R, ex = exp(x)
On peut donc récrire les propriétés précédentes à l’aide de cette notation :
Propriétés :
Soient a et b deux réels.
- ea+b = ea × eb
- ea−b = ea/eb
- e−a = 1/ea
- ∀n ∈ Z, (ea)n = ena
Définition
Soit a un réel strictement positif et b un réel quelconque, on pose :
ab = exp(b ln(a)) = eb ln(a)
On peut alors définir de nouvelles fonctions à partir de cette notation
Fonction exponentielle de base a
Définition
Soit a un nombre réel strictement positif.
La fonction f définie par : f(x) = exp(x ln a) est notée x → ax et est appelée fonction exponentielle de base a.
Df = R et f est continue et dérivable sur R.
Propriétés :
- ∀x ∈ R, f'(x) = (ln a)ax.
- Si a > 1 alors f est strictement croissante sur R.
- Si a < 1 alors f est strictement décroissante sur R.
- On obtient les limites de f aux bornes de l’ensemble de définition en utilisant les limites connues de la fonction exponentielle.
- La fonction exponentielle de base a possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction exponentielle.
Fonction logarithme décimal

Définition
La fonction logarithme décimal, notée log est définie par : log x = ln x/ln 10 .
Dlog = R∗+ et log est continue et dérivable sur R∗+.
Propriétés :
- ∀x ∈ R∗+, log'(x) = 1/x ln(10) .
- log est strictement croissante sur R∗+.
- lim x→+∞ log(x) = +∞ et lim x→0+ log(x) = −∞.
- La fonction logarithme décimal possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction logarithme népérien.
- log est la bijection réciproque de la fonction exponentielle de base 10 sur R∗+, i.e : ∀x > 0, ∀y ∈ R, y = log x ⇐⇒ x = 10y
Remarque : cette fonction est notamment utilisée en chimie : pH = − log ( [H3O+] / c◦)
Fonctions puissances
Définition
Soit α un nombre réel.
La fonction f définie par : f(x) = xα = exp(α ln x) est appelée fonction puissance α.
Df = R∗+ et f est continue et dérivable sur R∗
Propriétés :
- ∀x ∈ R∗+ , f'(x) = αxα−1.
- Les variations de f dépendent de α, on les obtient facilement à l’aide de la dérivée de f.
- Les limites de f aux bornes de son ensemble de définition dépendent aussi de α.
- Lorsque α > 0, on peut prolonger la fonction puissance en 0 en posant 0α = 0, c’est le cas des fonctions x → x1/2 et x → x1/3 .
- Les fonction puissances ont les mêmes propriétés algébriques que les fonctions exponentielles.
Exercice 1
Ecrire plus simplement :
a. ln 2x + ln 3
b. ln (2x + 2) – ln (x + 1)
c. ln (5x)*ln(2x)
d. (ln (2x + 1) + ln(2))²
e. ln 12 – ln 6
Exercice 2
Résoudre dans R les équations suivantes :
a. ln x = 3
b. ln x = -2
c. ln x - ln 5 = 0
Exercice 3
Résoudre dans R l'équation suivante :
ln x – ln (x + 1) = ln 2 - ln 4
Exercice 4
Pour chacune des fonctions suivantes, donner l'intervalle dans lequel f est dériveable puis donner sa dérivée.
a. f(x) = ln (3x + 1)
b. f(x) = 4.ln x
c. f(x) = ln (x² + 5x)
d. f(x) = ln (ex + 2)
e. f(x) = 2x² + 2(ln x)²
f. f(x) = exln x
Intéressé par un cours de math ?
Exercice 5
Résoudre dans R les inéquations suivantes :
a. ln x > ln (5x – 2)
b. ln (1 + ex) > 0
c. ln [(1 – ex) / (1 + ex)] ≥ 1
Correction de l'exercice 1
a. ln 2x + ln 3 = ln (6x)
b. ln (2x + 2) – ln (x + 1) = ln((2x + 2) / (x + 1)) = ln(2(x + 1) / (x + 1)) = ln 2
c. ln (5x)*ln(2x) ne peut pas se réduire.
d. (ln (2x + 1) + ln(2))² = (ln (4x + 2))²
e. ln 12 – ln 6 = ln 2
Correction de l'exercice 2
a. ln x = 3, donc x = e3.
b. ln x = -2, donc x = e-2.
c. ln x - ln 5 = 0
ln x/5 = 0
x/5 = e0 = 1
x = 5
Correction de l'exercice 3
ln x – ln (x + 1) = ln 2 - ln 4
ln (x / (x + 1)) = ln 2/4 = ln ½
x / (x + 1) = ½
2x = x + 1
x = 1
Correction de l'exercice 4
a. f(x) = ln (3x + 1)
f est définit et dérivable sur l'intervalle ]-1/3 ; +∞[.
f'(x) = 3 / (3x + 1)
b. f(x) = 4.ln x
f est définit et dérivable sur l'intervalle ]0; +∞[.
f'(x) = 4 / x
c. f(x) = ln (x² + 5x)
Résolvons tout d'abord x² + 5x = 0.
x(x + 5) = 0 => x = 0 ou x = -5.
f est donc définit et dérivable sur ]-∞ ; -5[ et sur ]0 ; +∞[.
f'(x) = (2x + 5) / (x² + 5x)
d. f(x) = ln (ex + 2)
f est dérivable sur R.
f'(x) = ex / (ex + 2)
e. f(x) = 2x² + 2(ln x)²
f est définit et dérivable sur ]0; +∞[.
f'(x) = 4x + 4*ln x / x
f. f(x) = exln x
f est définit et dérivable sur ]0; +∞[.
f'(x) = ex / x + exln x
Correction de l'exercice 5
a. Rappel:
.
Si nous appliquons cette propriété du logarithme naturel à
nous obtenons:
De la première équation, nous avons:
et de la deuxième:
Alors,
b. Rappel: La fonction inverse du logarithme naturel est la fonction exponentielle.
C'est à dire:
On sait que:
Alors, si on applique la fonction inverse du logarithme, nous obtenons:
Ceci est vrai pour tout ,
Alors:
c. Si on utilise la même propriété que dans la résolution du point a, nous avons:
On observe que la première inégalité est toujours vraie, nous allons donc nous concentrer sur la seconde:
Alors,
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BONJOU, IL Y A UNE ERREUR DANS LE 5)A NON ?
Bonjour, nous avons mis à jour la résolution de l’exercice 5. Merci pour ton message! 🙂
De rien. Ce fut un plaisir. Bye et à plus.
Merci de m’avoir alertée.
J’ai corrigé le 2-c et le 3.
Je crois pas qu’il y a une erreur dans le 4
Dites moi si vous trouvez une autre erreur!
Salut !!! Je tiens à te dire qu’il y a une formule pour laquelle tu te trompes. ln(a)+ln(b)=ln(ab) et non à ln(a/b). De plus, il me semble qu’il y a aussi des erreurs dans l’exo 4 : pour le c) ce serait plutôt ]0;-5[U]-5;+oo[ et pour le d) ]0;+oo[. Sur ce, bonne continuation!!!
je ne comprends pas certaine correction !!!
lnA+lnB=ln(A*B) non ?