Chapitres
Exercice 1
Ecrire plus simplement :
a. ln 2x + ln 3
b. ln (2x + 2) – ln (x + 1)
c. ln (5x)*ln(2x)
d. (ln (2x + 1) + ln(2))²
e. ln 12 – ln 6
Exercice 2
Résoudre dans R les équations suivantes :
a. ln x = 3
b. ln x = -2
c. ln x - ln 5 = 0
Exercice 3
Résoudre dans R l'équation suivante :
ln x – ln (x + 1) = ln 2 - ln 4
Exercice 4
Pour chacune des fonctions suivantes, donner l'intervalle dans lequel f est dériveable puis donner sa dérivée.
a. f(x) = ln (3x + 1)
b. f(x) = 4.ln x
c. f(x) = ln (x² + 5x)
d. f(x) = ln (ex + 2)
e. f(x) = 2x² + 2(ln x)²
f. f(x) = exln x
Exercice 5
Résoudre dans R les inéquations suivantes :
a. ln x > ln (5x – 2)
b. ln (1 + ex) > 0
c. ln [(1 – ex) / (1 + ex)] ≥ 1
Correction de l'exercice 1
a. ln 2x + ln 3 = ln (6x)
b. ln (2x + 2) – ln (x + 1) = ln((2x + 2) / (x + 1)) = ln(2(x + 1) / (x + 1)) = ln 2
c. ln (5x)*ln(2x) ne peut pas se réduire.
d. (ln (2x + 1) + ln(2))² = (ln (4x + 2))²
e. ln 12 – ln 6 = ln 2
Correction de l'exercice 2
a. ln x = 3, donc x = e3.
b. ln x = -2, donc x = e-2.
c. ln x - ln 5 = 0
ln x/5 = 0
x/5 = e0 = 1
x = 5
Correction de l'exercice 3
ln x – ln (x + 1) = ln 2 - ln 4
ln (x / (x + 1)) = ln 2/4 = ln ½
x / (x + 1) = ½
2x = x + 1
x = 1
Correction de l'exercice 4
a. f(x) = ln (3x + 1)
f est définit et dériveable sur l'intervalle ]-1/3 ; +∞[.
f'(x) = 3 / (3x + 1)
b. f(x) = 4.ln x
f est définit et dériveable sur l'intervalle ]0; +∞[.
f'(x) = 4 / x
c. f(x) = ln (x² + 5x)
Résolvons tout d'abord x² + 5x = 0.
x(x + 5) = 0 => x = 0 ou x = -5.
f est donc définit et dériveable sur ]-∞ ; -5[ et sur ]0 ; +∞[.
f'(x) = (2x + 5) / (x² + 5x)
d. f(x) = ln (ex + 2)
f est dériveable sur R.
f'(x) = ex / (ex + 2)
e. f(x) = 2x² + 2(ln x)²
f est définit et dériveable sur ]0; +∞[.
f'(x) = 4x + 4*ln x / x
f. f(x) = exln x
f est définit et dériveable sur ]0; +∞[.
f'(x) = ex / x + exln x
Correction de l'exercice 5
a. ln x > ln (5x – 2) avec x > 0.
x > 5x – 2
4x < 3
x < 3 / 4
Ainsi on a x appartient à ]0 ; 3/4[.
b. ln (1 + ex) > 0
On sait que la fonction x -> ln x est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
De plus ln 1 = 0.
Ainsi on doit avoir 1 + ex > 1, ce qui est vrai pour tout x dans R.
Donc x appartient à R.
c. ln [(1 – ex) / (1 + ex)] ≥ 1
On a ln e = 1.
Ainsi,
1 – ex ≥ e(1 + ex)
1 – ex ≥ e + e*ex
ex(1 + e) ≤ 1 – e
ex ≤ (1 – e)/(1 + e)
x ≤ ln [(1 – e)/(1 + e)]
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je ne comprends pas certaine correction !!!
lnA+lnB=ln(A*B) non ?
Salut !!! Je tiens à te dire qu’il y a une formule pour laquelle tu te trompes. ln(a)+ln(b)=ln(ab) et non à ln(a/b). De plus, il me semble qu’il y a aussi des erreurs dans l’exo 4 : pour le c) ce serait plutôt ]0;-5[U]-5;+oo[ et pour le d) ]0;+oo[. Sur ce, bonne continuation!!!
Merci de m’avoir alertée.
J’ai corrigé le 2-c et le 3.
Je crois pas qu’il y a une erreur dans le 4
Dites moi si vous trouvez une autre erreur!
De rien. Ce fut un plaisir. Bye et à plus.