Généralités

Comment représenter graphiquement une fonction mathématiques ?
Les fonctions peuvent sembler complexes de prime abord. Mais après avoir pris le temps de les comprendre, vous verrez qu'il n'en est rien.

Fonction de variable réelle

Définition
Une fonction f de variable réelle et à valeurs réelles est la donnée d’un sous-ensemble de R noté Df , appelé ensemble de définition de la fonction f et d’un procédé qui à tout réel x appartenant à Df associe un unique réel noté f(x), appelé image de x par f.

Remarques :

  • f(x) n’est pas une fonction !
  • Si f(x) = y alors on dit que x est un antécédent de y par f.
  • La variable x utilisée dans la définition est muette.
  • Lorsque f est définie sur une partie de N, on convient de dire que f est une suite numérique (souvent notée u,v,w) et l’image par f d’un entier naturel est notée fn (ou plus fréquemment un,vn,wn).

Courbe représentative, graphe

Définitions

  • Soit f une fonction numérique à variable réelle. Dans le plan muni d’un repère on appelle courbe représentative de f, notée Cf , l’ensemble des points de coordonnées (x, f(x)) où x ∈ Df .
  • Le graphe de f est l’ensemble des couples (x, f(x)) où x ∈ Df , c’est un sous-ensemble de R²

Attention !
Ne pas confondre courbe représentative et graphe d’une fonction. La courbe représentative dépend du repère choisi, ce qui n’est pas le cas du graphe.

Sens de variation d’une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I

Définitions

  • f est croissante sur I si : ∀(x, y) ∈ I² , x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)
  • f est strictement croissante sur I si : ∀(x, y) ∈ I² , x < y ⇒ f(x) < f(y)
  • f est décroissante sur I si : ∀(x, y) ∈ I² , x ≤ y ⇒ f(x) > f(y)
  • f est strictement décroissante sur I si : ∀(x, y) ∈ I² , x < y ⇒ f(x) > f(y)
  • f est constante sur I si : ∀(x, y) ∈ I² , f(x) = f(y)
  • f est monotone sur I si f est croissante ou si f est décroissante sur I.
  • f est strictement monotone sur I si f est strictement croissante ou si f est strictement décroissante sur I.

On rappelle un théorème reliant sens de variation et signe de la dérivée d’une fonction, ce théorème
sera démontré dans un chapitre ultérieur

Théorème 1

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

  • f constante sur I ⇐⇒ f' nulle sur I.
  • f croissante sur I ⇐⇒ f' positive sur I.
  • f décroissante sur I ⇐⇒ f' négative sur I.

Attention !
Ces équivalences sont fausses si I n’est pas un intervalle.

Parité, périodicité

Comment déterminer l'image d'une fonction ?
Les définitions, propositions et théorèmes énoncés dans ce cours peuvent sembler évidentes, mais il faut les comprendre et parfois savoir les redémontrer pour réussir vos exercices de mathématiques ?

Définitions

Soit f une fonction définie sur Df et I ⊂ Df .

  • On dit que f est paire sur I si :
    • ∀x ∈ I, −x ∈ I
    • ∀x ∈ I, f(−x) = f(x)
  • On dit que f est impaire sur I si :
    • ∀x ∈ I, −x ∈ I
    • ∀x ∈ I, f(−x) = −f(x)

Exemples

  • La fonction carrée est paire sur R ou sur [−1, 1] mais elle n’est pas paire sur [0, 1].
  • La fonction cube est impaire sur R ou sur [−2, 2] mais elle n’est pas impaire sur [−2, 1].
  • La fonction exponentielle n’est ni paire, ni impaire sur R.
  • La fonction nulle est paire et impaire sur R.

Attention !
Le contraire de « la fonction n’est pas paire » n’est pas « la fonction est impaire » !

La proposition suivante montre l’intérêt de la notion de parité :

Proposition 1

Si f est une fonction paire (resp. impaire) sur Df alors on peut restreindre l’étude de f à Df ∩ R+ puisque :

  • Si f est paire sur Df alors ses variations sur Df ∩ R+ et sur Df ∩ R− sont contraires.
    Dans un repère orthogonal, Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  • Si f est impaire sur Df alors ses variations sur Df ∩ R+ et sur Df ∩ R− sont de même nature.
    Dans un repère orthogonal, Cf est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Définition
Soit f une fonction numérique à variable réelle et T un réel strictement positif. On dit que f est T−périodique si :

  • ∀x ∈ Df , x + T ∈ Df et x − T ∈ Df
  • ∀x ∈ Df , f(x + T) = f(x)

Remarques :

  • Le premier item de la définition ci-dessus équivaut à x ∈ Df ⇔ x + T ∈ Df .
  • Il est clair que si f est T−périodique alors ∀n ∈ N∗, f est également nT−périodique.

La proposition suivante montre l’intérêt de la notion de périodicité :

Proposition 2

Si f est une fonction T−périodique sur Df alors on peut restreindre l’étude de f à Df ∩ [0, T] ou Df ∩ [−T/2 , T/2] puisque :
Si f est T−périodique sur Df alors ses variations sont de même nature sur tout ensemble du type [kT,(k + 1)T] ∩ Df où k ∈ Z.
Dans un repère orthogonal, Cf est obtenue par translations de vecteurs kT~i de la portion de courbe représentative de f sur [0, T] ∩ Df ou sur [−T/2 , T/2] ∩ Df .

Exemple
Les fonctions sinus et cosinus sont 2π−périodiques sur R.

Fonctions majorées, minorées, bornées

Définitions
Soit f une fonction et I une partie de Df .

  • f est majorée sur I s’il existe un réel M tel que : ∀x ∈ I, f(x) ≤ M
    On dit que M est un majorant de f sur I.
  • f est minorée sur I s’il existe un réel m tel que : ∀x ∈ I, f(x) ≥ m
    On dit que m est un minorant de f sur I.
  • f est bornée sur I si f est majorée et minorée sur I.

Extréma

On distingue deux notions d’extréma chez les focntions numériques de variable réelle.

Définitions
Soit f une fonction numérique à variable réelle et x0 ∈ Df .

  • f admet un maximum global en x0 si : ∀x ∈ Df , f(x) ≤ f(x0)
  • f admet un minimum global en x0 si : ∀x ∈ Df , f(x) ≥ f(x0)
  • f admet un extremum global en x0 si f admet un maximum global ou un minimum global en x0.

Définitions
Soit f une fonction numérique à variable réelle et x0 ∈ Df .

  • f admet un maximum local en x0 s’il existe un intervalle I ⊂ Df tel que x0 ∈ I et ∀x ∈ I, f(x) ≤ f(x0).
  • f admet un minimum local en x0 s’il existe un intervalle I ⊂ Df tel que x0 ∈ I et ∀x ∈ I, f(x) ≥ f(x0).
  • f admet un extremum local en x0 si f admet un maximum local ou un minimum local en x0.

On rappelle un théorème reliant extréma et dérivée d’une fonction.

Théorème 2

Soit f une fonction dérivable sur Df et x0 ∈ Df .
Si f admet un extremum en x0 et si x0 n’est pas une extrémité de Df alors f'(x0) = 0.

Attention !
La réciproque de ce théorème est fausse.

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Opérations algébriques sur les fonctions

Comment résoudre un problème complexe ?
Les fonctions suivantes seront souvent sollicités durant les exercices que vous aurez à résoudre pendant votre scolarité.

Somme de deux fonctions

Définition
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.
On définit la fonction f + g par : ∀x ∈ I, (f + g)(x) = f(x) + g(x).

Proposition 3 : Sens de variation de f + g

  • Si f et g sont (resp. strictement) croissantes sur I alors f +g est (resp. strictement) croissante sur I.
  • Si f et g sont (resp. strictement) décroissantes sur I alors f + g est (resp. strictement) décroissante sur I.

Produit d’une fonction par un réel

Définition
Soient f une fonction définie sur un intervalle I et λ ∈ R.
On définit la fonction λ.f par : ∀x ∈ I, (λ.f)(x) = λ × f(x).

Proposition 4 : Sens de variation de λ.f

  • Si λ > 0 alors λ.f et f ont même sens de variation sur I.
  • Si λ < 0 alors λ.f et f ont des sens de variations contraires sur I.

Produit ou quotient de deux fonctions

Définition
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.

  • On définit la fonction f × g par : ∀x ∈ I, (f × g)(x) = f(x) × g(x).
  • Si g ne s’annule pas sur I alors on définit la fonction f/g par : ∀x ∈ I, (f/g)(x) = f(x)/g(x).

Attention !
On ne cherchera pas à établir de propriété concernant le sens de variation d’un produit ou d’un
quotient de fonctions

Composée de fonctions

Définition
Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur les intervalles I et J.
Si f(I) ⊂ J alors on définit la fonction g ◦ f par : ∀x ∈ I, (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Attention !
Prendre garde à l’ordre dans l’écriture de la composée, en général la composée de deux fonctions
n’est pas commutative.

Proposition 5 : Sens de variation de g ◦ f

  • Si f et g ont même sens de variation alors g ◦ f est croissante.
  • Si f et g ont des sens de variation contraires alors g ◦ f est décroissante.

Fonctions usuelles

Fonctions puissances d’exposant entier
Définition
Soit n ∈ Z et f la fonction définie par : f(x) = xn.

  • Si n ∈ N, alors Df = R et f est continue et dérivable sur R.
  • Si n ∈ Z \ N, alors Df = R∗ et f est dérivable sur R∗.
    De plus ∀x ∈ R∗ , f(x) = xn = 1/x−n .

Propriétés :

  • Si n est pair (resp. impair) alors x → xn est paire (resp. impaire) sur R (resp. R∗).
  • Si n ∈ N alors f est dérivable sur R et f' (x) = nxn-1. On établit ensuite facilement le sens de variation de f.
  • Si n ∈ Z\N alors f est dérivable sur R∗ et la dérivée de f a la même expression algébrique que précédemment.
    • Si n = −1 il s’agit de la fonction inverse.
    • Si n = 0 il s’agit de la fonction constante égale à 1.
    • Si n = 1 il s’agit de la fonction identité.
    • Si n = 2 il s’agit de la fonction carrée.
    • Si n = 3 il s’agit de la fonction cube.
  • Le produit, le quotient ou la composée de deux fonctions puissances est une fonction puissance d’après les règles de calcul sur les exposants.
  • Les limites aux bornes de l’ensemble de définition s’obtiennent facilement suivant le signe et la parité de n.

Fonction racine carrée

Définition
La fonction f définie par : f(x) = √x est appelée fonction racine carrée.
Df = R+ et f est continue sur R et dérivable sur R∗+.

Propriétés :

  • f est dérivable sur R∗+, on démontre que f n’est pas dérivable en 0 en utilisant la définition de dérivabilité d’une fonction en un point.
  • ∀x ∈ R∗+ , f'(x) = 1/2√x.
  • La fonction racine carrée est strictement croissante sur R+.
  • La fonction racine carrée est multiplicative, i.e : ∀(x, y) ∈ (R∗+)² , √(a × b) = √a × √b.
  • La fonction racine carrée est la bijection réciproque de la fonction carrée sur R+, plus précisément :
    ∀x ∈ R+, (√x)² = √x² = x.
  • La limite de √x quand x tend vers +∞ est +∞

Attention !
On rappelle que si x < 0 alors √x² = −x.

Fonction logarithme népérien

Définition

La fonction inverse est continue sur R∗+ , elle possède donc des primitives sur R∗+.
La fonction logarithme népérien, notée ln, est l’unique primitive de la fonction inverse sur R∗+ qui s’annule en 1.

  • ln x =x1 (1/t)dt.
  • Dln = R∗+ et ln est continue et dérivable sur R∗+.

Propriétés :

  • ∀x ∈ R∗+, ln'(x) = 1/x.
  • ln est strictement croissante sur R∗+.
  • Pour tous réels a et b strictement positifs
    • ln(a × b) = ln a + ln b.
    • ln(1/a) = − ln a.
    • ln(a/b) = ln a − ln b.
    • ∀n ∈ Z, ln (an) = n ln a.
    • lim x→+∞ ln x = +∞ et lim x→0+ ln x = −∞.
    • ln réalise une bijection de R∗+ sur R, il existe donc un unique réel dont le logarithme népérien vaut 1, ce réel est noté e.
      ln e = 1, e ≈ 2, 71

Fonction exponentielle

Définition
La fonction ln réalise une bijection de R∗+ dans R, sa bijection réciproque, notée exp, est appelée fonction exponentielle.
La fonction exponentielle, notée exp, vérifie donc : ∀x ∈ R, ∀y ∈ R∗+, y = exp(x) ⇐⇒ x = ln(y).
Dexp = R et exp est continue et dérivable sur R.

Propriétés :

  • ∀x ∈ R, exp'(x) = exp(x).
  • exp est strictement croissante sur R.
  • lim x→+∞ exp(x) = +∞ et lim x→−∞ exp(x) = 0.
  • Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction exponentielle est la symétrique de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien par rapport à la première bissectrice du repère.
  • ∀(a, b) ∈ R² , exp(a + b) = exp(a) × exp(b).
    • ∀x ∈ R, exp(x) > 0.
    • exp(0) = 1, exp(1) = e.
    • ∀x ∈ R, ln(exp(x)) = x.
    • ∀x ∈ R∗+, exp(ln(x)) = x.
    • ∀x ∈ R, exp(−x) = 1/exp(x).
    • ∀(x, y) ∈ R² , exp(x − y) = exp(x)/exp(y).
    • ∀x ∈ R, ∀n ∈ Z, [exp(x)]n = exp(nx).
    • ∀n ∈ Z, [exp(1)]n = exp(n) i.e : en = exp(n)

Cette dernière propriété s’étend à tous les nombres réels : ∀x ∈ R, ex = exp(x)

On peut donc récrire les propriétés précédentes à l’aide de cette notation :

Propriétés :
Soient a et b deux réels.

  • ea+b = ea × eb
  • ea−b = ea/eb
  • e−a = 1/ea
  • ∀n ∈ Z, (ea)n = ena

Définition
Soit a un réel strictement positif et b un réel quelconque, on pose :
ab = exp(b ln(a)) = eb ln(a)

On peut alors définir de nouvelles fonctions à partir de cette notation

Fonction exponentielle de base a

Définition
Soit a un nombre réel strictement positif.
La fonction f définie par : f(x) = exp(x ln a) est notée x → ax et est appelée fonction exponentielle de base a.
Df = R et f est continue et dérivable sur R.

Propriétés :

  • ∀x ∈ R, f'(x) = (ln a)ax.
    • Si a > 1 alors f est strictement croissante sur R.
    • Si a < 1 alors f est strictement décroissante sur R.
  • On obtient les limites de f aux bornes de l’ensemble de définition en utilisant les limites connues de la fonction exponentielle.
  • La fonction exponentielle de base a possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction exponentielle.

Fonction logarithme décimal

Comment utiliser une échelle en logarithme décimal ?
En physique-chimie, vous aurez parfois à étudier des graphiques présentant des échelles logarithmiques.

Définition
La fonction logarithme décimal, notée log est définie par : log x = ln x/ln 10 .
Dlog = R∗+ et log est continue et dérivable sur R∗+.

Propriétés :

  • ∀x ∈ R∗+, log'(x) = 1/x ln(10) .
  • log est strictement croissante sur R∗+.
  • lim x→+∞ log(x) = +∞ et lim x→0+ log(x) = −∞.
  • La fonction logarithme décimal possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction logarithme népérien.
  • log est la bijection réciproque de la fonction exponentielle de base 10 sur R∗+, i.e : ∀x > 0, ∀y ∈ R, y = log x ⇐⇒ x = 10y

Remarque : cette fonction est notamment utilisée en chimie : pH = − log ( [H3O+] / c◦)

Fonctions puissances

Définition
Soit α un nombre réel.
La fonction f définie par : f(x) = xα = exp(α ln x) est appelée fonction puissance α.
Df = R∗+ et f est continue et dérivable sur R∗

Propriétés :

  • ∀x ∈ R∗+ , f'(x) = αxα−1.
  • Les variations de f dépendent de α, on les obtient facilement à l’aide de la dérivée de f.
  • Les limites de f aux bornes de son ensemble de définition dépendent aussi de α.
  • Lorsque α > 0, on peut prolonger la fonction puissance en 0 en posant 0α = 0, c’est le cas des fonctions x → x1/2 et x → x1/3 .
  • Les fonction puissances ont les mêmes propriétés algébriques que les fonctions exponentielles.

Exercice 1

Ecrire plus simplement :

a. ln 2x + ln 3

b. ln (2x + 2) – ln (x + 1)

c. ln (5x)*ln(2x)

d. (ln (2x + 1) + ln(2))²

e. ln 12 – ln 6

Exercice 2

Résoudre dans R les équations suivantes :

a. ln x = 3

b. ln x = -2

c. ln x - ln 5 = 0

Exercice 3

Résoudre dans R l'équation suivante :
ln x – ln (x + 1) = ln 2 - ln 4

Exercice 4

Pour chacune des fonctions suivantes, donner l'intervalle dans lequel f est dériveable puis donner sa dérivée.

a. f(x) = ln (3x + 1)

b. f(x) = 4.ln x

c. f(x) = ln (x² + 5x)

d. f(x) = ln (ex + 2)

e. f(x) = 2x² + 2(ln x)²

f. f(x) = exln x

Intéressé par un cours de math ?

Exercice 5

Résoudre dans R les inéquations suivantes :

a. ln x > ln (5x – 2)

b. ln (1 + ex) > 0

c. ln [(1 – ex) / (1 + ex)] ≥ 1

Correction de l'exercice 1

a. ln 2x + ln 3 = ln (6x)

b. ln (2x + 2) – ln (x + 1) = ln((2x + 2) / (x + 1)) = ln(2(x + 1) / (x + 1)) = ln 2

c. ln (5x)*ln(2x) ne peut pas se réduire.

d. (ln (2x + 1) + ln(2))² = (ln (4x + 2))²

e. ln 12 – ln 6 = ln 2

Correction de l'exercice 2

a. ln x = 3, donc x = e3.

b. ln x = -2, donc x = e-2.

c. ln x - ln 5 = 0
ln x/5 = 0
x/5 = e0 = 1
x = 5

Correction de l'exercice 3

ln x – ln (x + 1) = ln 2 - ln 4

ln (x / (x + 1)) = ln 2/4 = ln ½

x / (x + 1) = ½

2x = x + 1

x = 1

Correction de l'exercice 4

a. f(x) = ln (3x + 1)
f est définit et dérivable sur l'intervalle ]-1/3 ; +∞[.
f'(x) = 3 / (3x + 1)

b. f(x) = 4.ln x
f est définit et dérivable sur l'intervalle ]0; +∞[.
f'(x) = 4 / x

c. f(x) = ln (x² + 5x)
Résolvons tout d'abord x² + 5x = 0.
x(x + 5) = 0 => x = 0 ou x = -5.
f est donc définit et dérivable sur ]-∞ ; -5[ et sur ]0 ; +∞[.
f'(x) = (2x + 5) / (x² + 5x)

d. f(x) = ln (ex + 2)
f est dérivable sur R.
f'(x) = ex / (ex + 2)

e. f(x) = 2x² + 2(ln x)²
f est définit et dérivable sur ]0; +∞[.
f'(x) = 4x + 4*ln x / x

f. f(x) = exln x
f est définit et dérivable sur ]0; +∞[.
f'(x) = ex / x + exln x

Correction de l'exercice 5

a. Rappel:

    \[ \ln x < \ln y \quad \textrm{para} \quad 0 < x < y .\]

.

Si nous appliquons cette propriété du logarithme naturel à

     \[ \ln x > \ln (5x - 2) \]

nous obtenons:

     \begin{equation*} 0 < 5x - 2 \quad \textrm{y} \quad 5x - 2 < x. \end{equation*}

De la première équation, nous avons:

     \begin{equation*} 0 < 5x - 2 \quad \Rightarrow \quad 2 < 5x \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{5} < x \end{equation*}

et de la deuxième:

     \begin{equation*} 5x - 2 < x \quad \Rightarrow \quad 4x < 2 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{2}{4} = \frac{1}{2} . \end{equation*}

Alors,

     \begin{equation*} x \in (\frac{2}{5}, \frac{1}{2})\end{equation*}

b. Rappel: La fonction inverse du logarithme naturel est la fonction exponentielle.
C'est à dire:

     \[ \textrm{e}^{\ln x} = x \quad \textrm{para todo} \quad x> 0. \]

On sait que:

 1 + \textrm{e}^x > 0

Alors, si on applique la fonction inverse du logarithme, nous obtenons:

     \begin{align*} 1 + \textrm{e}^x &> \textrm{e}^0 \\ 1 + \textrm{e}^x &> 1 \end{align*}

Ceci est vrai pour tout x,

Alors:

    \begin{equation*} x \in (-\infty, \infty) \end{equation*}

c. Si on utilise la même propriété que dans la résolution du point a, nous avons:

     \begin{equation*} 1 + \textrm{e}^x > 1 - \textrm{e}^x \quad \textrm{y} \quad 1 - \textrm{e}^x > 0. \end{equation*}

On observe que la première inégalité est toujours vraie, nous allons donc nous concentrer sur la seconde:

     \begin{align*} 1 - \textrm{e}^x &> 0 \\ \textrm{e}^x &< 1 \\ \Rightarrow \quad x &< 0 \end{align*}

Alors,

 

    \begin{equation*} x \in (-\infty, 0) \end{equation*}

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Joy

Freelancer et étudiante en Sciences de la Vie et de la Terre, je suis un peu une grande sœur qui épaule et aide les autres pour observer et comprendre le monde qui nous entoure et ses curieux secrets !