Rappel de la définition

Soit a et b deux entiers naturels non
nuls.
Un entier naturel qui divise a et qui
divise b est appelé «diviseur commun à a et à
b».
L'ensemble des diviseurs communs à
a et à b possède un plus grand élément
appelé plus grand diviseur commun à a et b =
pgcd(a ; b).

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Exercice 1

Pour chacun des cas suivants, écrire
les diviseurs de a et b puis en déduire pgcd(a; b).

a. a = 15 et b = 35
b. a = 13 et b = 54
c. a = 18 et b = 48

Exercice 2

Déterminer le pgcd des nombres
suivants :

a. a = 3 et b = 753
b. a = 135 et b = 5
c. a = 1284 et b = 8

Exercice 3

Déterminer le pgcd des nombres
suivants :

a. a = 584 et b = 64
b. a = 35691 et b = 221

Exercice 4

Utiliser l'algorithme d'euclide pour
déterminer les pgcd suivants :

a. a = 853 et b = 212
b. a = 384 et b = 1218
c. a = 218 et b = 32

Correction de l'exercice 1

a. Diviseurs de 15 : 1, 3, 5, 15
Diviseurs de 35 : 1, 5, 7, 35
pgcd(15, 35) = 5.

b. 13 est un nombre premier, donc
pgcd(13 ; 54) = 1.

c. Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
Diviseurs de 54 : 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27
pgcd(18, 54) = 18

Correction de l'exercice 2

a. a = 3 et b = 753
Les diviseurs de 3 sont 1 et 3.
Donc le pgcd(3 ; 753) ne peut être
que 1 ou 3.
Or 753 / 3 = 251, donc pgcd(3 ; 753) =
3.

b. a = 135 et b = 5
Les diviseurs de 5 sont 1 et 5.
Donc le pgcd(5 ; 135) ne peut être
que 1 ou 5.
Or 135 / 5 = 27, donc pgcd(5 ; 135) =
5.

c. a = 1284 et b = 8
Les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4 et 8.
Donc le pgcd(1284 ; 8) ne peut être
que 1, 2, 4 ou 8.
Or 1284 / 8 = 321 / 2 et 1284 / 4 =
321, donc pgcd(1284 ; 8)= 4.

Correction de l'exercice 3

a. a = 584 et b = 64
Division euclidienne de a par b : 584 =
64*9 + 8.
Donc pgcd(a, b) = pgcd(64, 8). Or 8 est
un diviseur de 64, donc pgcd(64, 8) = 8.
Par conséquent, pgcd(a, b) = 8.

b. a = 35691 et b = 221
Division euclidienne de a par b : 35691
= 221*161 + 110.
Donc pgcd(a, b) = pgcd(221, 110).
Réécrivons la division
euclidienne de 221 et 110 :
221 = 110*2 + 1.
Par conséquent, pgcd(a, b) = 1.

Correction de l'exercice 4

a. a = 853 et b = 212
Ecrivons les divisions euclidiennes
successives :

853 = 212*4 + 5
212 = 5*42 + 2
5 = 2*2 + 1
2 = 1*2 + 0

Donc pgcd(a ; b) = 1.

b. a = 384 et b = 1218
Ecrivons les divisions euclidiennes
successives :

1218 = 384*3 + 66
384 = 66*5 + 54
66 = 54*1 + 12
54 = 12*4 + 6
12 = 6*2 + 0

Donc pgcd(a ; b) = 6.

c. a = 218 et b = 32
Ecrivons les divisions euclidiennes
successives :

218 = 32*6 + 26
32 = 26*1 + 6
26 = 6*4 + 2
6 = 2*3 + 0

Donc pgcd(a ; b) = 2.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !