Chapitres

Exercice

f(x) = (3-x)ex

Démontrons que l'équation f'(x) = 2 a exactement 2 solutions.

f'(x) = -ex+(3-x)ex

f'(x) = ex(2-x)

Soit l'equation : ex(2-x) = 2

<=> ex(2-x)-2 = 0

On pose g la fonction définie sur IR par

g(x) = ex(2-x)-2

g'(x) = ex(2-x)+ex(-1) = ex(1-x)

x Є IR, ex>0 donc g' a le même signe que 1-x

V(-∞) : g(x) = 2ex-xex-2

lim ex = 0

x-∞

lim xex = 0 croissance comparée

x→-∞

lim g(x) = -2

x→-∞

V(+∞) : g(x) = 2ex-xex-2

lim ex = +∞

x→+∞

lim 2-x = -∞

x→+∞

lim g(x) = -∞

x→+∞

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Correction

Sur ]-∞;1]

g continue

g strictement croissante

g(]-∞;1]) = ]-2;e-2]

0 Є ]-2;e-2]

donc d'après le théorème de bijection,

l'équation g(x) = 0 a une unique solution sur ]-∞;1]

De même une unique solution sur [1;+∞[

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !