Introduction

On étudie ici les fonctions réelles à une variable réelle. Cela signifie qu'on définit une application f qui a toute inconnue x associe le nombre f(x). Différentes fonctions existes et sont très utilisées en mathématique comme en physique : les fonctions affines, la fonction carré, la fonction exponentielle, etc...

 

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Les fonctions linéaires

Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x)=ax où a est un nombre réel. La fonction linéaire se représente graphiquement par une droite passant par l'origine. Le réel "a" est appelé coefficient directeur de la droite y=ax.  Lorsque a est positif, la droite est croissante et lorsque a est négatif, la droite est décroissante.

Par exemple, représentons graphiquement la fonction

    \[y=3x\]

Qu'est ce qu'une fonction linéaire ?
On constate bien que la droite passe par l'origine du repère, le point (0,0). De plus la fonction est croissante. Pour déterminer le coefficient directeur, on regarde comment passer d'un point à un autre. Par exemple, du point (0,0) au point (1,3). On avance de 1 et on monte de 3 : ainsi le coefficient directeur est 3/1=3.

La fonction linéaire est continue et dérivable. Sa dérivée est f'(x)=a.

Les fonctions affines

En cours de maths, les fonctions affines sont les fonctions de la forme y=ax+b où a et b sont des réels fixés. Les fonctions affines se représente graphiquement par des droites. On appelle "a" le coefficient directeur et "b" l'ordonnée à l'origine de la droite. Lorsque a est positif, la droite est croissante et lorsque a est négatif, la droite est décroissante. Le "b" représente l'ordonnée du point de la droite qui a pour abscisse x=0, c'est à dire la valeur pour laquelle la droite coupe l'axe des ordonnées.

Lorsque b=0, on a une fonction linéaire. Lorsque a vaut 0, on a une fonction constante égale à b, c'est à dire une fonction f(x)=b dont la représentation graphique est une droite horizontale. Les droites verticales sont les droites d'équations x=c où c est une constante réelle.

Par exemple, représentons la droite

    \[y=-2x+5\]

Qu'est ce qu'une fonction affine ?
On observe bien l'ordonnée à l'origine au point 5, on constate que la fonction est décroissante. Pour connaitre son coefficient directeur on regarde comment passer d'un point de la droite à un autre. Par exemple, pour aller du point (0,5) au point (1,3), on avance de 1 et on descend de 2 donc le coefficient directeur est -2/1=-2.

En cours de maths terminale s, lorsque l'on connait deux points

    \[A(x_a,y_a)\]

et

    \[B(x_b,y_b)\]

, on peut déterminer le coefficient directeur à l'aide de la formule suivante

    \[a=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}\]

La fonction affine est continue et dérivable et sa dérivée est f'(x)=a.

L'équation y=ax+b est l'équation réduite de la droite. Elle est unique. Il est aussi possible d'écrire cette équation sous la forme cartésienne c'est à dire dy+ex+f=0 où d,e et f sont des constantes réelles. Il existe une infinité d'équation cartésienne pour une même droite comme par exemple, y-ax-b=0; 2y-2ax-2b=0, etc...

La fonction carré

En cours de maths seconde, la fonction carré est la fonction qui a tout x associe x². Elle est définie sur

    \[\mathbb{R}\]

et est à valeur dans

    \[\mathbb{R+}\]

Ainsi,

    \[x^2\geq 0\]

La fonction carré se représente par une parabole tournée vers le haut (convexe) qui passe par l'origine et qui admet pour axe de symétrie l'axe des ordonnées.

Représentons graphiquement cette fonction :

Qu'est ce que la fonction carré ?
On voit clairement l'axe de symétrie de la fonction. On constate de plus que la fonction est toujours positive (toujours au dessus de l'axe des abscisses).

Lorsque x tend vers

    \[-\infty\]

ou

    \[+\infty\]

la fonction tend vers l'infini.

Il est nécessaire d'être attentif lors de la résolution d'équations et d'inéquations. Par exemple, l'équation

    \[x^2=4\]

admet deux solutions : -2 et 2. On le voit clairement que le graphique. L'équation

    \[x^2=-6\]

n'admet aucune solution car un carré est toujours positif.

De la même façon, l'inéquation

    \[x^2\geq4\]

a pour solution l'ensemble

    \[]-\infty,-2] \cup [2,+\infty[\]

Inversement, l'inéquation

    \[x^2<4\]

admet pour solution l'ensemble ]-2,2[.

La fonction carré est continue et dérivable sur tout

    \[\mathbb{R}\]

Sa dérivée est f'(x)=2x.

La fonction racine carré

La fonction racine carré est la fonction inverse de la fonction carré. C'est à dire que

    \[\sqrt{x}^2=x\]

La fonction racine carré est définie sur

    \[\mathbb{R+}\]

, c'est à dire que l'on ne peut pas calculer la racine carré d'un nombre négatif. Elle est à valeur dans

    \[\mathbb{R+}\]

C'est  une fonction strictement croissante et positive qui tend vers l'infini en l'infini.

Représentons graphiquement la fonction :

Qu'est ce que la fonction racine carré ?
On observe que la fonction est définie qu'à partir de 0. De plus elle est croissante et toujours positive. Elle semble bien tendre vers l'infini, bien qu'elle croit de plus en plus lentement.

La fonction racine carré est continue sur son ensemble de définition :

    \[\mathbb{R+}\]

et est dérivable sur

    \[\mathbb{R+^*}\]

Attention, la fonction est définie en 0 mais n'est pas dérivable en 0 ! Sa dérivée sur son ensemble de dérivation est

    \[\frac{1}{2\sqrt{x}}\]

La fonction inverse

La fonction inverse est la fonction qui a tout x associe

    \[\frac{1}{x}\]

Cette fonction n'est donc pas définie en 0 car on ne peut pas diviser par 0 mais est définie partout ailleurs sur l'ensemble des réels. Sa représentation graphique est une hyperbole. On dit que la fonction admet pour asymptotes les droites x=0 (axe des ordonnées) et y=0 (axe des abscisses). Des asymptotes sont des droites que la courbe longe sans jamais ne l'atteindre. Ainsi, lorsque x tend vers 0-, la fonction tend vers moins l'infini et lorsque x tend vers 0+ (0 en partant des nombres positifs) la fonction tend vers l'infini. Lorsque x tend vers + ou - l'infini, la fonction tend vers 0.

Traçons la fonction dans un repère pour comprendre ses propriétés :

Qu'est ce que la fonction inverse ?
Voici la courbe représentative de la fonction inverse : une hyperbole. La fonction n'est pas définie en 0. On observe bien les asymptotes que la fonction longe sans jamais les toucher.

La fonction inverse est continue et dérivable sur son ensemble de définition :

*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\mathbb{R^*\]  *** Error message: File ended while scanning use of \math@egroup.  Emergency stop.   

Sa dérivée est

    \[f'(x)=\frac{-1}{x^2}\]

Les fonctions du second degré

Les fonctions du second degré sont les fonctions de la forme f(x)=ax²+bx+c. Elles sont représentées graphiquement par des paraboles. La parabole est tournée vers le haut (convexe) si a est positif et tournée vers le bas (concave) si a est négatif.

On intéresse particulièrement aux racines du polynôme ax²+bx+c, c'est à dire les solutions de l'équation ax²+bx+c=0, c'est à dire les abscisses des points pour lesquelles la parabole coupe l'axe des abscisses. Ce polynôme admet donc 0, une ou deux racines. On les détermine grâce au discriminant :

    \[\Delta =b^2-4ac\]

Si le discriminant est positif, le polynôme admet deux racines distinctes, si le discriminant est nul, le polynôme admet une unique racine et enfin si le discriminant est négatif, il n'y a aucune racine.

Il est clair que si le discriminant est négatif (ou nul), si a est positif, la parabole est tournée vers le haut et située au dessus de l'axe des abscisses, donc la fonction f est toujours positive (ou nulle). Si le discriminant est négatif (ou nul), si a est négatif, la parabole est tournée vers le bas et située en dessous de l'axe des abscisses, donc la fonction f est toujours négative (ou nulle).

Lorsque le discriminant est positif, on détermine les deux racines grâce aux formules ci dessous :

    \[x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\]

et

    \[x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\]

Si a est positif, la parabole est tournée vers le haut, donc la fonction est positive jusqu'à la plus petite des racines, puis négative jusqu'à l'autre racine puis positive. Inversement, si a est négatif, la parabole est tournée vers le bas, donc la fonction est négative jusqu'à la plus petite des racines, puis positive jusqu'à l'autre racine puis négative.

Connaitre les racines d'un polynôme permet donc de déterminer son signe.

Un polynôme du second degré est continue et dérivable partout. Sa dérivée est f'(x)=2ax+b.

 

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle est la fonction qui a tout x associe exp(x) aussi notée

    \[e^x\]

Cette fonction se définit comme l'unique fonction ayant pour dérivée elle même et associant 1 à 0 c'est à dire

    \[(e^x)'=e^x\]

et

    \[e^0=1\]

Elle est définie sur tous les réels et est à valeur dans l'ensemble des réels strictement positifs. Elle est continue partout sur son ensemble de définition.

C'est une fonction qui est strictement croissante et toujours positive.

Représentons la graphiquement :

Qu'est ce que la fonction exponentielle ?
La fonction exponentielle croit rapidement. On constate que lorsque x tend vers - l'infini, la fonction tend vers 0 (sans jamais ne l'atteindre, exp(x)>0). Lorsque x tend vers l'infini, la fonction tend vers l'infini.

 

La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction inverse de la fonction exponentielle c'est à dire

    \[\exp(\ln(x))=x\]

et

    \[\ln(\exp(x))=x\]

C'est une fonction définie sur

*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\mathbb{R+^*\]  *** Error message: File ended while scanning use of \math@egroup.  Emergency stop.   

et est à valeur dans l'ensemble des réels. De plus, on a

    \[\ln(1)=0\]

Cette fonction est strictement croissante. Elle est négative sur ]0,1[ et positive pour tous réels supérieur à 1. Elle est continue et dérivable sur son ensemble de définition et sa dérivée est

    \[(\ln(x))'=\frac{1}{x}\]

Représentons la graphiquement :

Qu'est ce que la fonction logarithme ?
On observe bien les différentes propriétés énoncées. Lorsque x tend vers l'infini, la fonction tend vers l'infini. Lorsque x tend vers 0, la fonction tend vers - l'infini.

 

Exercices

Exercice 1 :

Déterminer l'équation des droites passant par les deux points suivants :

A(2,0) et B(5,1); C(-4,1) et D(-3,2); E(6,-2) et F(-2,0).

 

Énonçons les résultats dans un tableau :

PointsCoefficient directeurOrdonnée à l'origineEquation de la droite
A(2,0) et B(5,1)a=(1-0)/(5-2)=1/3y=1/3x+b
0=2/3+b
b=-2/3
y=1/3x-2/3
C(-4,1) et D(-3,2)a=(2-1)/(-3+4)=1y=x+b
1=-4+b
b=5
y=x+5
E(6,-2) et F(-2,0)a=2/(-2-6)=-1/4y=-1/4x+b
0=1/2+b
b=-1/2
y=-1/4x-1/2

 

Exercice 2 :

Déterminons les solutions des équations suivantes :

x²=16; x²=-1;

    \[\sqrt x=4\]

;

    \[\sqrt x =-3\]

et

    \[\frac{1}{x}=6\]

 

Rassemblons les résultats dans un tableau :

équationsolution
x²=16x=4 ou x=-4
x²=-1impossible
√x=4x=16 (on met au carré)
√x=-3impossible, clair sur la représentation graphique.
1/x=6x=1/6 par un produit en croix.

 

Exercice 3 :

Terminons avec un dernier exercice.

Déterminer les solutions des équations suivantes :

    \[e^x=1\]

    \[e^x=-2\]

    \[e^x=6\]

    \[\ln(x)=0\]

    \[\ln(x)=1\]

 

Exposons les résultats dans le tableau ci dessous :

Équationsolutions
exp(x)=1x=0
exp(x)=-2impossible, exp(x)>0
exp(x)=6x=ln(6)
ln(x)=0x=exp(0)=1
ln(x)=1x=exp(1)

Les solutions, lorsqu'elles existent sont toujours uniques car les fonctions exponentielle et logarithme sont strictement croissantes.

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