Introduction

Les suites permettent de traduire beaucoup de situations connues dans la vie de tous les jours. Elles sont utiles dans beaucoup de domaines autres que les mathématiques. Il est important de savoir les étudier, par exemple de connaître sa limite, mais aussi de démontrer des propriétés sur une suite à l'aide de la récurrence.

La récurrence

Analogie

Le raisonnement par récurrence s’apparente à la théorie des dominos. On considère une file de dominos espacés régulièrement.

Comment fonctionne la récurrence ?
Regardons un exemple pour comprendre ce qu'est la récurrence.

Le premier domino tombe : Initialisation. Si le ne domino tombe, il fait tomber le (n + 1)e : Hérédité. Les dominos sont suffisamment proches pour que si l’un des dominos dn tombe,  dn+1 tombe également. On peut alors conclure que tous les dominos de la file tombent les uns après les autres.

Transposons cet effet domino à une propriété mathématique. Soit la suite (un) définie par : u0 = 0, 3 et ∀n N, un+1 = 1/2un + 1/2. Soit la propriété (P) : ∀n N, 0 < un < 1

  • Le premier domino tombe : u0 = 0, 3 donc 0 < u0 < 1. La propriété est initialisée : elle est vraie pour le premier terme de la suite.
  • Si l’un des dominos tombe le suivant tombe également : si

        \[0 < u_n < 1\]

    =>

        \[0 < \frac{1}{2} u_n < \frac{1}{2} \]

    => 

        \[\frac{1}{2}< \frac{1}{2} u_n+\frac{1}{2} < 1\]

On a ainsi : 1/2 <un+1 < 1. La propriété est héréditaire : si on la suppose vraie au rang n, on démontre qu'elle est vraie au rang n+1. On peut conclure que la propriété est bien vérifiée pour tout entier naturel.

Intérêt du raisonnement par récurrence

Qu'est ce que le raisonnement par récurrence ?
Essayons de comprendre à quoi sert le raisonnement par récurrence.

Soit la suite (un) définie par : u0 = 0 et ∀n N, un+1 = 2un + 1 On souhaiterait obtenir une formule permettant de calculer explicitement un en fonction de n. À première vue, cette formule ne saute pas aux yeux. Dans une telle situation, le calcul des premiers termes est souvent intéressant pour dégager une relation. Calculons les premiers termes :

  • u1 = 2u0 + 1 = 1  (21 − 1)
  • u2 = 2u1 + 1 = 3  (22 − 1)
  • u3 = 2u2 + 1 = 7  (23 − 1)
  • u4 = 2u3 + 1 = 15  (24 − 1)
  • u5 = 2u4 + 1 = 31  (25 − 1)

En cours de maths terminale s, la suite (un) semble obéir à une loi toute simple : en ajoutant 1 à chaque terme, on obtient les puissances successives de 2. Nous pouvons donc émettre la conjecture suivante : ∀n N,

    \[u_n = 2^n - 1\]

. Attention, une conjecture n’est pas une preuve (ni une affirmation nécessairement vraie, certaines conjectures se révèlent parfois fausses...). Celle ci résulte d’un certain nombre d’observations. Alors comment confirmer la propriété conjecturée ci-dessus ?

Démontrons la par récurrence. Notons (P) la propriété, définie par : ∀n N, un = 2n − 1. On a montré que la propriété était vraie au rang initial, ici pour n=0. On dit que la propriété (P) est initialisée. Supposons maintenant que pour un certain entier n, on ait effectivement la propriété un = 2n − 1. Montrons que la propriété est vraie pour un+1 . Alors, on aurait : un+1 = 2un + 1 = 2(2n − 1) + 1 = 2n+1 − 1, ce qui correspond à la propriété (P) à l’ordre n + 1. Autrement dit, si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l’est également au rang suivant n + 1. On dit que la propriété (P) est héréditaire. Ainsi, notre propriété étant vraie au rang initial et héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel.

Axiome de récurrence

Définition : Soit une propriété (Pn) définie sur N. Si la propriété est initialisée à partir du rang 0 et si la propriété est héréditaire alors la propriété est vraie à partir pour tout entier naturel. Une propriété n'est pas toujours définie pour tout n, elle peut commencer à un autre rang que 0, par exemple, la propriété peut être vraie à partir de 2. Ainsi, le rang initial serait 2 et la propriété serait vraie pour tout n supérieur ou égal à 2.

Remarque : Le raisonnement par récurrence s’apparente à l’effet domino : Si un domino tombe alors le suivant tombera. Si le premier tombe alors le second tombera, puis le troisième, puis le quatrième... Conclusion : si le premier domino tombe alors tous tomberont.

En cours de maths, le raisonnement par récurrence comporte deux phases :

  • Prouver que la propriété est initialisée (vraie au rang initial n0 )
  • Prouver que la propriété est héréditaire

En cours de maths seconde, si on montre ces deux phases la propriété est démontrée pour tout entier naturel supérieur ou égal à n0. Si l’une des deux conditions n’est pas respectée, on arrive à une conclusion erronée.

Inégalité de Bernoulli

Comment démontrer l'inégalité de Bernoulli ?
L'inégalité de Bernoulli est très importante et très utilisée. Sa démonstration est un bon exemple de récurrence.

Théorème : Soit un réel a strictement positif. On a alors ∀n N, (1 + a)n > 1 + na. Démontrons cette inégalité par récurrence.

  • Initialisation : : (1 + a)0 = 1 et 1 + 0a = 1, donc (1 + a)0 > 1 + 0 × a. La propriété est initialisée.
  • Hérédité : On suppose que (1 + a)n > 1 + na.  Montrons que (1 + a)n+1 > 1 + (n + 1)a

Par hypothèse : (1 + a)n > 1 + na comme 1 + a > 0 on a : (1 + a)(1 + a)n > (1 + a)(1 + na). D'où (1 + a)n+1 > 1 + na + a + na2 > 1 + (n + 1)a + na2 > 1 + (n + 1)a. La propriété est héréditaire. Par initialisation et hérédité : ∀n N, (1 + a)n > 1 + na.

Remarque : Pour l’hérédité, on multiplie des 2 côtés de l'inégalité par (1+a)>0 puis on utilise le fait que 1 + (n + 1)a + na2 > 1 + (n + 1)a car na² est supérieur ou égal à 0.

Exercice d'application

La suite (un) est définie par : u0 = 1 et ∀n N,

    \[u_{n+1} = \sqrt{u_{n}+2}\]

  1. Démontrer que pour tout naturel n, 0 < un < 2
  2. Prouver que la suite est strictement croissante.
  • Montrons l’encadrement de un par récurrence.

Initialisation : on a u0 = 1 donc 0<u0<2. La propriété est initialisée.

Hérédité : : On suppose que 0<un<2, montrons que 0<un+1<2. On a 0 < un < 2 ⇒ 2 < un + 2 < 4 comme la fonction racine est croissante sur R+ :

    \[\sqrt{2} < \sqrt{u_{n}+2} < 2\]

=>

    \[0 < \sqrt{2} < u_{n+1} < 2\]

. La proposition est héréditaire.

La propriété est vraie au rang initial et est héréditaire, ∀n N, 0 < un < 2.

  • Montrons par récurrence que la suite (un) est strictement croissante. Cela revient à montrer que

        \[u_{n+1}>u_n\]

Initialisation : on a

    \[u_1 =\sqrt{3}\]

donc u1>u0. La proposition est initialisée.

Hérédité : Supposons que un+1 >un, montrons que un+2 >un+1. On a un+1 > un un+1 + 2 > un + 2 comme la fonction racine est croissante sur R+,

    \[\sqrt{u_{n+1}+2} > \sqrt{u_{n}+2} => u_{n+2} > u_{n+1}\]

La proposition est donc héréditaire.

Par initialisation et hérédité, la suite (un) est croissante.

Situations amenant à une conclusion erronée

Situation 1 : Hérédité seulement vérifiée sans prendre en compte l'initialisation. Soit la propriété suivante : ∀n N, 3 divise 2n Hérédité : on suppose que 3 divise 2n, montrons que 3 divise 2n+1. Si 3 divise 2n, alors il existe un entier naturel k tel que : 2n = 3k On a, en multipliant par 2 : 2n+1 = 2 × 3k = 3(2k). 3 divise donc 2n+1 Conclusion : la proposition est héréditaire mais comme elle n’est jamais initialisée, la proposition ne peut être vraie. Heureusement car cette proposition est fausse ! 3 ne divise pas 2, ni 4, etc !!!

Situation 2 : Initialisation vérifiée jusqu’à un certain rang. Soit la propriété suivante : ∀n N, n2 n + 41 est un nombre premier. L’initialisation est vérifiée car pour n = 0 on obtient 41 qui un nombre premier. Mais l’hérédité n’est pas assurée bien que P(n), même si P(n) est vraie pour plusieurs n. On peut le vérifier avec une table de nombres premiers ou la liste des premiers termes de la suite (un) définie par un = n2 n + 41. Par exemple, pour n = 41, on a : 412 − 41 + 41 = 412 qui n’est pas un nombre premier. La propriété est donc fausse. Conclusion : La véracité d’une proposition pour certaines valeurs au départ ne prouve pas la généralité !

 

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Limite d’une suite

Qu'est ce que la limite d'une suite ?
Cherchons à comprendre ce qu'est la limite d'une suite, ce qu'elle représente et comment la déterminer.

Limite finie

Définition  : On dit que la suite (un) a pour limite finie l si il existe un intervalle (de bornes finies) contenant tous les termes de la suite et la limite l. Cela revient à dire que lorsque l'on prend n très grand, n qui tend vers l'infini, on a (un) qui tend vers l. On note alors :  lim un = l et l’on dit que la suite (un) converge vers l lorsque n→+∞. Remarque : Lorsqu’elle existe, cette limite est unique (on le démontre par l’absurde).

Conséquence :  Les suites définies pour tout entier naturel n non nul par :

    \[u_{n} = \frac{1}{n}\]

    \[u_{n} = \frac{1}{n^{2}}\]

, pour tout entier naturel k non nul,

    \[u_{n} = \frac{1}{n^{k}}\]

    \[u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}\]

ont pour limite 0. Ce ne sont bien sur pas les seules.

Limite infinie

Définition : On dit que la suite (un) a pour limite +∞ (resp. −∞) si il existe un nombre A tel que l'intervalle ]A; +∞[ (resp. ] − ∞; A[) qui contient tous les termes de la suite. On note alors :

    \[\lim_{n \rightarrow +\infty}u_{n} = +\infty\]

(respectivement

    \[\lim_{n \rightarrow -\infty}u_{n} = -\infty\]

On dit que la suite diverge vers +∞ (resp. −∞). Remarque : Cette définition traduit l’idée que les termes de la suite arrivent à dépasser A, aussi grand soit-il. Une suite peut n’avoir aucune limite. Par exemple : un = (−2)n. On dit que la suite diverge. En effet, c'est un suite alternée et elle ne tend vers un unique réel.

Conséquence : les suites définies pour tout entier naturel par :

    \[u_{n} = n\]

    \[u_{n} = n^{2}\]

    \[u_{n} = n^{3}\]

    \[u_{n} = \sqrt{n}\]

ont pour limite +∞. Ce ne sont pas les seules !

Déterminer une limite par comparaison ou par encadrement

Théorème : Soient trois suites (un), (vn) et (wn). Si à partir d’un certain rang, on a :

  • Théorème d’encadrement ou "des gendarmes"

Si

    \[u_{n} \le v_{n} \le w_{n}\]

et si

    \[\lim_{n \rightarrow +\infty}u_{n} = l\]

et

    \[\lim_{n \rightarrow +\infty}w_{n} = l\]

alors

    \[\lim_{n \rightarrow +\infty}v_{n} = l\]

  • Théorème de comparaison

Soit un > vn . Si

    \[\lim_{n \rightarrow +\infty}u_{n} = l1\]

et 

    \[\lim_{n \rightarrow +\infty}v_{n} = l2\]

alors l1 > l2. En particulier, si

    \[\lim_{n \rightarrow +\infty}v_{n} = +\infty\]

alors

    \[\lim_{n \rightarrow +\infty}u_{n} = +\infty\]

Opérations sur les limites

Il est assez intuitif de penser que la limite de la somme est égal à la somme de la limite. Il en est de même pour le produit ou le quotient de limites. Il y a exactement 4 cas où les limites ne peuvent pas être aussi simplement déterminées, on les appelle des formes indéterminées :

    \[\infty-\infty\]

    \[\frac{\infty}{\infty}\]

    \[0\times \infty\]

    \[\frac{0}{0}\]

Il faudra alors soit essayer de changer la forme de la suite, soit utiliser le théorème de comparaison ou des gendarmes.

Par exemple, voici les différentes additions sur les limites :

lim UnLLL+∞+∞
lim VnL'+∞-∞+∞-∞
lim (Un+Vn)L+L'+∞-∞+∞forme indéterminée

Voici ensuite la limite d'un produit de deux suites :

lim UnLL>0L>0L<0L<0+∞+∞-∞0
lim VnL'+∞-∞+∞-∞+∞-∞-∞+∞ ou -∞
lim (Un x Vn)L x L'+∞-∞-∞+∞+∞-∞+∞forme indéterminée

Enfin, voici la limite d'un quotient de deux suites :

lim UnLL+∞-∞L≠00+∞ ou -∞
lim VnL'≠0+∞ ou -∞L≠0L≠000+∞ ou -∞
lim (Un/Vn)L/L'0+∞ si L>0
-∞ si L<0
-∞ si L>0
+∞ si L<0
+∞ ou -∞forme indéterminéeforme indéterminée

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