Exercice 1

Soit p un entier naturel.
Démontrer que si p ≡
2 (5) et si p ≡ 5 (5)
alors p² + 1 est divisible par 5.

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Exercice 2

Démontrer que pour tout p entier
naturel, p(p4 – 1) est un multiple de 5.

Exercice 3

Soit p un entier naturel, donner le
reste de la division euclidienne de 4 de 1p + 2p
+ 3p.

Correction de l'exercice 1

Si p ≡
2 (5), alors p² ≡ 4
(5), donc p² + 1 ≡
4 + 5 (5).
Ainsi, p² + 1 ≡
0 (5) alors p² + 1 est divisible par 5.

Correction de l'exercice 2

p(p4 – 1) = p(p² –
1)(p² + 1) = p(p² + 1)(p – 1)(p + 1)
Regardons les différents restes
possibles lors d'une division euclidienne par 5 :

Si p ≡
0 (5), alors p(p4 – 1) ≡
0 (5).
Si p ≡
1 (5), alors (p – 1) ≡
0 (5), donc p(p4 – 1) ≡
0 (5).
Si p ≡
2 (5), alors p² ≡ 4
(5), p² + 1 ≡ 4 +
5 (5), donc p(p4 – 1) ≡
0 (5).
Si p ≡
3 (5), alors p² + 1 ≡ 0
(5), donc p(p4 – 1) ≡ 0 (5).
Si p ≡
4 (5), alors (p + 1) ≡ 0
(5), donc p(p4 – 1) ≡
0 (5).

Correction de l'exercice 3

Si p = 0, alors 1p + 2p
+ 3p = 3, donc 1p + 2p + 3p
≡ 3 (4).

Si p = 1, alors 1p + 2p
+ 3p = 6, donc 1p + 2p + 3p
≡ 2 (4).

Si p est impaire et différent de
1, alors 1p + 2p + 3p ≡
0 (4).

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !