Probabilité et indépendance

Si on considère A et B comme deux événements, sachant que A est un événement de probabilité non nulle, alors on peut définir la probabilité de B sachant A par la formule suivante :

    \[ P _ A \left( B \right) = \frac { P \left( A \cap B \right) } { P \left( A \right) } \]

On appelle cela une probabilité conditionnelle car on veut connaître la probabilité de B en sachant que A s'est produit avant.

Il est possible de dire de deux événements qu'ils sont indépendant si et seulement si la condition suivante est vérifiée :

    \[ P \left( A \cap B \right) = P \left( A \right) \times P \left( B \right) \]

Espérance et variance d'une loi binomiale

Il existe des formules afin de calculer l'espérance et la variance d'une telle loi.

Si on définit X comme suivant une loi binomiale de paramètres n et p alors :

    \[ E \left( X \right) = n \times p \]

et

    \[ V \left( X \right) = n \times p \times \left( 1 - p \right) \]

Avec :

  • E l'espérance ;
  • et V la variance.

Loi uniforme

Il est possible de définir une loi uniforme sur [a ; b ] de la façon suivante :

Fonction de densité sur [ a ; b ]
Probabilité
Espérance

Quelques définitions de base

Comment gagner au poker ? L'aléatoire et le hasard séduisent facilement l'Homme. En effet, beaucoup peuvent se perdre dans une addiction aux jeux d'argents qui, je le rappelle, sont interdit aux mineurs ! Soyez donc prudent.

Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire correspond à une expérience dont le résultat n'est pas prévisible de façon certaine. On peut ainsi prendre l'exemple du lancer d'un dé équilibré à 6 faces. En effet, il existe 6 résultats possibles dont aucun n'est prévisible de façon certaine.

Issu d'une expérience aléatoire

Tout résultat possible de l'expérience est appelé issue d'une expérience aléatoire.

Univers

Attention à ne pas confondre l'univers mathématique avec l'univers physique. Les deux sont drastiquement différents et ne nomment pas la même chose !

L'univers d'une expérience aléatoire, noté Ω, correspond à l’ensemble des issues possibles de cette même expérience. Toujours en prenant l'exemple du lancer d'un dé équilibré à 6 faces, l'univers correspond à Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Evénement

Un événement, noté A, correspond à une partie de l'univers Ω. Toujours dans l'exemple du lancer d'un dé équilibré à 6 faces, l'ensemble { 2, 4, 6 } correspond à un événement que l'on peut définir comme étant "obtenir un nombre pair".

Evénement élémentaire

Si Ω correspond à l'univers d'une expérience aléatoire, on considère un événement élémentaire comme étant tout événement qui ne comporte qu'une seule issue. Toujours en prenant l'exemple du lancer d'un dé équilibré à 6 faces, les événement { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 }, { 5 }, { 6 } correspondent aux événements élémentaires de cet univers.

Evénements incompatibles

On dit de deux événements qu'il sont incompatibles s'il ne peuvent pas se produire de façon simultanées. De ce fait, ces deux événements ne contiennent aucune issue commune. Toujours en prenant l'exemple du lancer d'un dé équilibré à 6 faces, l'événement A : "obtenir la face 1" et l'événement B : "obtenir la face 3" sont considérés comme étant incompatibles puisqu'ils ne peuvent pas être réalisés de façon simultanée.

Evénement contraire

Un événement contraire à un événement A correspond à tout événement dont l'ensemble des éléments de l'univers Ω ne se trouvent pas dans A. Toujours en prenant l'exemple du lancer d'un dé équilibré à 6 faces, l'événement A : "obtenir un nombre pair" et l'événement B : "obtenir un nombre impair" sont considérés comme étant des événement contraires.

La probabilité d'un événement

Comment gagner à pile ou face ? L'exemple du lancer de pièce est régulièrement utilisé aussi bien en tant qu'exemple de cours que pour les exercices. C'est pourquoi il est important de bien le comprendre.

Si A est un événement, alors on considère la probabilité de A, notée p(A), comme étant la probabilité égale à la somme des probabilités des événement élémentaires constitutif de l'événement A.

Evénement certain

On considère un événement certain comme étant un événement qui se réalisera obligatoirement. Ainsi, la probabilité de cet événement est égale à 1. Toujours en prenant l'exemple du lancer d'un dé équilibré à 6 faces, l'événement A : "obtenir un nombre compris entre 1 et 6" correspond à un événement certain.

Evénement impossible

On considère un événement comme étant impossible tout événement qui ne se réalisera jamais. De ce fait, sa probabilité est nulle. Toujours en prenant l'exemple du lancer d'un dé équilibré à 6 faces, l'événement A : "obtenir le nombre 8" est un événement impossible.

Réunion d'événements

Si A et B correspondent à deux événements de l'univers Ω, on appelle réunion de A et B tout événement noté A ∪ B comprenant les issues qui peuvent se réaliser dans un moins un des deux événements A ou B.

On peut alors obtenir les théorèmes suivant :

Si A et B sont deux événements incompatibles, alors p(A ∪ B) = p(A) + p(B)

Si A et B sont deux événements alors p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) ou encore p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B)

L'événement contraire

Si A est un événement de l'univers Ω, alors la probabilité de son événement contraire est égale à

    \[ p \left( \overline{A} \right) = 1 - p \left( A \right) \]

Il est important de savoir que :

  •     \[ A \space \cup \space \overline { A } = \text { Univers } \]

  •     \[ A \space \cap \space \overline { A } = \text { Ensemble vide } \]

L'équiprobabilité

On considère une situation comme étant équiprobable tout expérience où tous les événements élémentaires de l'univers Ω ont la même probabilité d'être réalisés. Ainsi, dans l'exemple du lancer d'un dé équilibré à 6 faces, chaque face à la même probabilité de sortie. Cet exemple correspond donc à une situation d'équiprobabilité.

De ce fait, en situation d'équiprobabilité, il est possible de connaître la probabilité d'un événement à grâce à la formule suivante :

    \[ p \left( A \right) = \frac { \text { Nombre d elements de A } } { \text { Nombre d elements de l univers } } \]

Exercice d'application

Avant de commencer un exercice, il est très important de lire attentivement l'énoncé afin de ne pas faire d'erreur d'interprétation. Par exemple, il faut savoir faire la différence entre un dé truqué et un dé équilibré car les résultats obtenus ne seront assurément pas les mêmes

Dans un sac il y a 9 boîtes bleues, dont 6 contiennent un réglisse, et 3 boîtes vertes, dont 2 contiennent un jouet.

B: "obtenir une boîte bleue"    V: "obtenir une boîte verte"    J: "obtenir un jouet"   R: "obtenir un réglisse"

1. P(B) = ?    2. P(V) = ?    3. P(J) = ?    4. P(R) = ?

2. On tire une boîte au hasard dans le sac, on obtient une boîte verte; quelle est la probabilité qu'il y ait un jouet à l'intérieur?

3. On tire une boîte au hasard dans le sac, on obtient une boîte bleue; quelle est la probabilité qu'il y ait un jouet à l'intérieur?

Corrigé:

1. P(B) = 9/12 = 3/4    2. P(V) = 3/12 = 1/4    3. P(J) = 5/12    4. P(R) = 7/12

2. Pv(J) = 2/3

3. Pb(J) = 3/9 = 1/3

Entraînement aux probabilités en maths

Exercice 1 : La loi binomiale

On jette 2 fois une pièce de monnaie. Cet acte à deux solutions possibles :

  • La pièce s'arrête sur « PILE »
  • La pièce s'arrête sur « FACE »

On note P le résultat « PILE » et F le résultat « FACE ».

1. Calculer p(P) et p(F)

2. Tracer l'arbre pondéré représentant l'issue de deux jets indépendants de la pièce.

3. Déterminer la probabilité d'obtenir deux fois FACE.

Exercice 2

On lance trois fois la même pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de «PILE» obtenus sur trois lancers.

1. Donnez la loi de probabilité de X

2. Calculer E(X)

3. Calculer V(X)

Exercice 3

On jette dix fois la même pièce de monnaie parfaitement équilibrée.

1. Quelle est la probabilité d'obtenir 5 fois pile ?

2. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois pile ?

Exercice 4

Une boîte contient 8 cubes (3 petits rouges et un gros rouge, deux gros vert et un petit vert, un petit jaune).
Un enfant choisit au hasard trois cubes dans la boîte.

1. On note :

  • A : l'événement d'obtenir trois cubes de couleurs différentes.
  • B : l'événement d'obtenir au plus un petit cube.

a. Calculer la probabilité de A.

b. Calculer la probabilité de B.

2. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de gros cubes verts tirés par l'enfant.

a. Donner la loi de probabilité de X

b. Calculer E(X)

3. L'enfant répète n fois l'opération « Tirer au hasard trois cubes dans la boîte ». Les cubes sont remis dans la boîte après chaque tirage, et chaque tirage est indépendant.
Déterminer Pn en fonction de n.

Correction de l'exercice 1

1. p(P) = ½
p(F) = 1- p(P) = ½

2. Il est nécessaire de faire un arbre pondéré

3. La probabilité d'obtenir deux fois le côté FACE est de ½ * ½ = ¼

Correction de l'exercice 2

1. On peut traduire la situation par un arbre pondéré.

Ainsi, chaque situation a pour probabilité: ½ * ½ * ½ = 1/8
X étant la variable aléatoire égale au nombre de PILE obtenus après 3 lancers de la pièce, alors X peut prendre pour valeurs 0, 1, 2 et 3.
On peut donc donner la loi de probabilité de X :

2. Calcul de E(X)
E(X) = 0*1/8 + 1*3/8 + 2*3/8 + 3*1/8 = 12/8
Donc E(X) = 3/2.

3. Calcul de V(X)
V(X) = 0²*1/8 + 1²*3/8 + 2²*3/8 + 3²*1/8 – E(X)² = 3/4

Correction de l'exercice 3

Il s'agit d'un schéma de Bernoulli.

1. La probabilité d'obtenir PILE à chaque lancer est de 1/2.
Ce schéma suit donc la loi binomiale de paramètre n = 10 et p = ½
La probabilité d'obtenir 5 fois pile est donc de :

2. Le contraire de l'événement “obtenir au moins une fois pile” est “ne pas obtenir pile”.
Vu de cette façon, la réponse devient alors triviale.

Correction de l'exercice 4

Tous les tirages sont équiprobables.
On note Ω l'ensemble des éventualités.

1. a) La probabilité A d'obtenir des cubes de couleur différentes est égale à :

Donc p(A) = 12 / 56 = 1 / 4

b) La probabilité d'obtenir au plus un petit cube est égale à :

Donc p(B) = 16 / 56 = 2 / 7.

2. X donne le nombre de petits cubes verts tirés par l'enfant.
Or il y a 2 gros cubes vert au total dans la boîte. X peut alors prendre les valeurs 0, 1 ou 2.

On a alors :

b. Calcul de E(X) = 0x5/28 + 1*15/56 + 2*3/56 = 21/56

3. Les tirages sont indépendants.
Il s'agit donc d'une loi binomiale de paramètre n et p = p(B) = 2/7.
La probabilité que B ne soit réalisé aucune fois est :

La probabilité que B soit réalisé au moins une fois est donc de : Pn = 1 - (5/7)n

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Joy

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