Chapitres

Exercice

On considère la suite (un) définie par récurrence par :

u0 = 1, u1 = 2, un+2 = 6 un+1 – 5 un

  1. Calculer u2, u3 et u4.
  2. Résoudre l'équation du second degré suivante x² = 6x – 5.
  1. Déterminer deux réels A et B tels que un = A x 5n + B
  2. En déduire u10.
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Correction

  1. u2 = 6u1 – 5 u0 = 6 x 2 – 5 x 1 = 12 – 5 = 7

    u3 = 6u2 – 5 u1 = 6 x 7 – 5 x 2 = 42 – 10 = 32

    u4 = 6u3 – 5 u2 = 6 x 32 – 5 x 7 = 192 – 35 = 157

  2. x² = 6x – 5 est équivalente à x² – 6x + 5 = 0.

    On calcule le discriminant b² – 4 ac = (-6)² – 4 x 1 x 5 = 36 – 20 = 16.

    Le discriminant est positif, donc il y a deux solutions X et Y,

    X= (6 + 4) / 2 = 5 et Y = (6 – 4) / 2 = 1

    Cette équation a donc deux solutions 1 et 5.

  3. On veut que un = A x 5n + B vérifie u0 = 1, u1 = 2 et un+2 = 6 un+1 – 5 un.

    Première condition : u0 = A x 50 + B = 1 donc A + B = 1, notée E

    Deuxième condition : u1 = A x 51 + B = 2 donc 5A + B = 2, notée E'

    En faisant E' – E, on trouve 4A = 1, d'où A = ¼,

    En remplaçant A par ¼ dans E, on trouve B = ¾.

    Vérifions alors que la troisième condition est remplie.

    Calculons un+2, puis 6 un+1 – 5 un, et comparons.

    un+2 = ¼ x 5n+2 + ¾

    6 un+1 – 5 un = 6 x (¼ x 5n+1 + ¾) – 5x (¼ x 5n + ¾ )

    = 6/4 x 5n+1 + 18/4 – 5/4 x 5n – 15/4

    = 6/4 x 5n+1 + 3/4 – 1/4 x 5n+1

    = (6/4 - ¼) x 5n+1 + ¾

    = 5/4 x 5n+1 + ¾

    = ¼ x 5n+2 + ¾

    Donc un+2 = 6 un+1 – 5 un., et les trois conditions sont bien remplies.

  4. Donc u10 = ¼ x510 + ¾
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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !