Exercice

Une personne loue une maison à partir du 1er janvier 2001. Elle a le choix entre deux formules de contrat. Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de 12 000 euros et le locataire s’engage à occuper la maison pendant 9 années complètes.

1) Contrat 1 : le locataire accepte une augmentation annuelle de 5% du loyer de l’année précédente.

a) Calculer le loyer u1payé lors de la deuxième année.

b) Exprimer un(loyer payé lors de la (n + 1)ème année) en fonction de n.

c) Calculer u8.

2) Contrat 2 : le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de 700 euros du loyer de l’année précédente.

a) Calculer le loyer v1payé lors de la deuxième année.

b) Exprimer vn (loyer pay& lors de la (n + 1)ème année) en fonction de n.

c) Calculer v8.

3) Calculer la somme payée à l’issue des neuf années complètes dans le cas des deux contrats. Quel contrat choisissez-vous?

Correction

  1. a) u1 = 12000 + 5/100 x 12000 = 12000 + 600 = 12600.

    Le loyer payé lors de la deuxième année est de 12600 €.

    b) un = un-1 + 5/100 x un-1 = un-1 x (1 + 5/100) = un-1 x 1,05

(un) est donc une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme u0 = 12000.

Par conséquent, quel que soit n entier positif ou nul, un = 12000 x (1,05)n.

c) u8 = 12000 x 1,058 = 17729,465...

Le loyer de la neuvième année vaut donc environ 17729,47 euros.

  1. a)v1 = 12000 + 700 = 12700.

Le loyer payé lors de la deuxième année est de 12700 €.

b) vn = vn-1 + 700

(vn) est donc une suite arithmétique de raison 700 et de premier terme v0 = 12000.

Par conséquent, quel que soit n entier positif ou nul, vn = 12000 + 700n.

c) v8 = 12000 + 700 x 8 = 17600,

Le loyer de la neuvième année vaut donc 17600 euros.

  1. Dans le cas du contrat 1 :

    u0 + ... + u8 = 12000 x (1 – 1,059) (1 – 1,05) = 132318,771....

    Dans le cas du contrat 2 :

    v0 + ... + v8 = (12000 + 17600) / 2 x 9 = 133200

    Par conséquent, sur les neuf années, le contrat 1 revient moins cher, c'est donc celui-ci que l'on choisira.

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Clément M

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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