La
transformation de Laplace est très utile pour résoudre des équations
différentielles (oncontourne une
résolution directe délicate) et déterminer la fonction de transfert d'un
système linéaire. Par exemple en électricité, contrairement à la décomposition
de Fourier qui est utilisée pour la détermination du spectre d'un signal
périodique (c'est-à-dire la décomposition en somme de sinusoïdes …), elle tient
compte de l'existence d'un régime transitoire précédent le régime permanent
(exemple : la prise en compte de l'allure du signal avant et après la mise en
marche d'un générateur de fréquence)

Il suffit en effet de transposer l'équation différentielle
dans le domaine de Laplace pour obtenir une équation beaucoup plus simple à
manipuler.

Exercice 1

1.1Trouver la fonction temporelle originalef de la transformée de Laplace
suivante en détaillant le calcul: 

1.2Exprimer
la transformée de Laplace de la fonction suivante :

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Exercice 2

Soit le circuit électrique
suivant :

 

On donne R = 1W ;
L = 1 H ;C = 1 F.

 

 

2.1 On appelle E(p) et S(p) les transformées de
Laplace respectivement de e(t) et s(t).

Calculer l’impédance complexe correspondant aux
trois éléments en parallèle. En déduire l’impédance opérationnelle Z1(p)
associée. Faire l’application numérique.

2.2 Calculer la fonction de transfert de ce filtre.

2.3 On applique comme signal d’entrée une impulsion (pic de Dirac).

Déterminer la transformée de
Laplace du signal de sortie.

En déduire l’expression
temporelle du signal de sortie s.

Exercice 3

3.1 Calculer l’intégrale suivante. Que
représente-t-elle ?

3.2 Calculer par intégration par parties l’intégrale
suivante :

 Exercice 4

Recherches
d'originaux d'une fonction :

Déterminer l'original de la fonction g définie par :

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !