Exercice 1

a)
domaine de définition:

Condition
d'existence:

Le
domaine de définition de f est donc .

b)
dérivée:

Calculons
la dérivée de f:

Observons chacun des facteurs formant cette dérivée: les facteurs et
x sont strictement positifs, nous allons montrer que le facteur s'annule
une et une seule fois dans l'intervalle [1,e]. Cette expression est définie et
continue sur et
donc dans l'intervalle [1,e]. Nous pouvons donc appliquer le théorème des
valeurs intermédiaires. En effet, si nous remplaçons x par 1 et par e dans
cette expression, nous obtenons:

Nous en déduisons
donc que l'expression s'annule
au moins une fois dans l'intervalle [1,e].

Pour
démontrer qu'elle ne s'annule qu'une seule fois dans cet intervalle, nous
calculons sa dérivée afin de connaître ses variations:

Afin de dresser le
tableau de signe de cette dérivée, nous recherchons ses racines:

Tableau des
variations:

Puisque ,
dans l'intervalle [1,e], l'expression est
donc strictement décroissante et ne peut donc s'annuler qu'une seule fois.

c)
Equation des asymptotes

- asymptotes
verticales

Le
domaine de définition étant ,
calculons la limite de la fonction en 0:

Le
graphe de la fonction admet donc l'axe Y comme asymptote verticale

- asymptotes
horizontales

Pour lever cette indétermination, nous écrivons la fonction sous la
forme d'un quotient (nous obtenons une forme indéterminée ).
Appliquons alors le théorème de l'Hospital:

Le
graphe admet donc l'axe X comme asymptote horizontale des deux côtés.

- asymptotes
obliques

Puisque
le graphe de la fonction admet une asymptote horizontale des deux côtés, il n'y
a pas d'asymptote oblique.

d)
Dérivée seconde

Procédons comme nous l'avons fait pour la dérivée :observons chacun des
facteurs formant cette dérivée seconde: les facteurs et
x2 sont strictement positifs, nous allons montrer que le facteur s'annule
dans l'intervalle [1,e]. Cette expression est définie et continue sur et
donc dans l'intervalle [1,e]. Nous pouvons donc appliquer le théorème des
valeurs intermédiaires. En effet, si nous remplaçons x par 1 et par e dans
cette expression, nous obtenons:

Nous en déduisons donc que l'expression s'annule
au moins une fois dans l'intervalle [1,e] et que par conséquent il en est de
même pour la dérivée seconde.

e) graphe

Nous esquissons le graphe de f en tenant compte des résultats obtenus
dans les questions précédentes, et en observant que la fonction est paire et
donc que son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Nous savons que le graphe admet l'axe des ordonnées comme asymptote
verticale avec

et l'axe des abscisses comme asymptote horizontale.

De plus 1 est une racine de f et sur l'intervalle [1,e], la dérivée
s'annule une et une seule fois en changeant de signe en passant du positif au
négatif. Par conséquent, le graphe admet un maximum dans cet intervalle.

Puisque la dérivée
seconde s'annule dans  [1,e] avec changement de signe, le graphe admet un
point d'inflexion dans cet intervalle..

Exercice 2

a) domaine de définition:

Pour déterminer le domaine de
définition de la fonction, on s'est appuyé sur la définition d'une puissance
d'un réel à exposant fractionnaire , qui n'est définie que si le réel est strictement
positif (car on peut l’exprimée en fonction de exp(ln…)).

b) extrema

Calculons la dérivée de f:

Réalisons le tableau de signe de la dérivée et celui des variations de
f:

La fonction admet un maximum pour x = 1 qui vaut f(1) = 3.

c) Points d'inflexion.

Calculons la dérivée seconde de
la fonction:

f’’ s’annule en –2 n’appartient pas à Df donc Le graphe
n'admet pas de point d'inflexion.

d)
Montrons que le graphe n'admet pas d'asymptotes

asymptotes
verticales

0 est
le seul réel adhérent et n'appartenant pas au domaine de la fonction. Calculons
la limite de la fonction en 0:

La
limite n'est pas infinie, le graphe de f n'admet donc pas d'asymptote
verticale.

asymptotes
horizontales

La limite n'étant pas un réel, le
graphe de f n'admet pas d'asymptote horizontale (la limite en moins l'infini
n'a pas de sens).

asymptotes
obliques

calcul du coefficient directeur
de l'asymptote oblique:

Cette limite n'étant pas un réel non nul, le graphe de la
fonction n'admet pas d'asymptote oblique.

e) Graphe de f

Exercice 3

E(x)

 

 

 

 

1) E(3) = 3 car 3 [3
; 4[

E(-2) = -2 car -2
[-2 ; -1[Cette fonction n'est pas continue en n ( n entier relatif )
puisque les limites à gauche et à droite de n sont différentes.

 
2) f(x) = x-E(x)

x [-3 ; -2[f(-3)=-3-(-3)=0, f(-2)=-2-(-3)=1

x [-2 ; -1[f(-2)=-2-(-2)=0, f(-1)=-1-(-2)=1

x [-1 ; 0[f(-1)=-1-(-1)=0, f(0)=0-(-1)=1

ainsi de suite on obtient l’allure:

3) a)

b) continue sur [-1 ; 1]

Vous avez aimé l’article ?

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) (Aucun vote)
Loading...

Mathieu

Vous avez aimé
cette ressource ?

Bravo !

Téléchargez-là au format pdf en ajoutant simplement votre e-mail !

{{ downloadEmailSaved }}

Votre email est invalide