En
mathématiques, une application (ou fonction) f est la donnée de deux ensembles,
l'ensemble de départ E et l'ensemble d'arrivée F, et d'une relation associant à
chaque élément x de l'ensemble de départ un et un seul élément de l'ensemble
d'arrivée, que l'on appelle image de x par f et que l'on note f(x). On dit
alors que f est une application de E dans F (noté f : EF), ou encore une
application à arguments dans E et valeurs dans F.

Exercice 1

On considère la fonction définie par : 

a) Donnez le domaine de définition
de f.

b) Calculez f ' et montrez
que dans [1,e], f ' a une et une seule racine.

c) Donnez les équations des
asymptotes.

d) Montrez que f "
s'annule dans [1,e].

e) Tracez le graphe de f.

Rappels ;

Fonction logarithme népérien

-Son ensemble de définition est ]0;+[

-Elle est dérivable sur ]0;+[
de fonction dérivée :    x 1/x

-Elle s'annule en 1
-On admet que cette fonction existe et qu'elle est unique ; on note cette
fonction ln.

Tableau de variation

Courbe représentative de f 

limites avec
lelogarithme

népérien

Fonction exponentielle

Dérivée (ex)' = ex

Pour tout réel a et b on a :

Tableau
de variation

Limites avec la fonction exponentielle

  Courbe représentative de f

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Exercice 2

 On
considère la fonction définie par : 

a)
Donnez le domaine de f.

b)
Situez le ou les extrema éventuels.

c)
Situez le ou les points d'inflexion éventuels.

d)
Montrez que le graphe de f n'a pas d'asymptote.

e)
Dessinez le graphe de f.

 

Exercice 3

 


Rappel : Fonction définie par intervalles. Exemple la fonction partie
entière dite "en
escalier". C’est la fonction définie de
la manière suivante : pour tout nombre réel x, la partie entière notée
E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.

Il
existe un unique entier n tel que n £ x
<n+1.x [n ; n + 1[. La fonction partie entière est la
fonction qui à x associe n. => E(x) = n.Par exemple : E(2,3) = 2, E(−2) = −2 et E(−2,3) =
−3.

1)
Tracer le graphe de E(x) pour x [-2 ; 4[

2)
Construire le graphe de la fonction f(x) = x-E(x) pour x [-3 ; 3[

3) g est la fonction définie sur
[-1;2[ par g(x)=x E(x)

a) Tracer dans un repère
orthonormé la courbe représentative de g.
b) En quels réels de l'intervalle [-1;2[ la fonction g est -elle continue?

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !