Division euclidienne

Remarques :

  • La division euclidienne a été étudiée à l'école primaire. Il s'agit donc ici de faire des rappels.
  • Il faut cependant avoir en tête que la division euclidienne ne met en jeu que des nombres entiers.

Propriétés :

a÷b est une notation de deux nombres pouvant s'écrire en écriture fractionnaire

Remarque : Une multiplication correspond à 2 divisions. Si 4 x 2,5 = 10 alors on peut écrire les deux divisions suivantes :

  • 10 ÷ 4 = 2,5
  • 10÷2,5=4

Si 6 x 1,1 = 6,6 alors on peut le transformer via les deux divisions suivantes :

  • 6,6 ÷ 6 = 1,1
  • 6,6÷1,1 = 6

Une division correspond à une multiplication sous une autre forme. On peut ainsi écrire a ÷ b = q sous la forme a = b x q. On appelle par ailleurs le résultat de la division le quotient noté q.

Par exemple :

100 ÷ 8 = 12,5 puisque 8 x 12,5 = 100

18,7 ÷ 2 = 9,35 puisque 2 x 9,35 = 18,7

Comment calculer un quotient

Calculer une quantité par unités

Problème 1 : Quatre enfants se partagent équitablement une somme de 50 euros. Combien chacun reçoit-il ?

Raisonnement : La somme d'argent par enfant correspond à la somme d'argent divisée par le nombre d'enfants. On obtient donc l'opération suivante 50 ÷ 4 = 12,5. Chaque enfant reçoit donc 12,5€.

Problème 2  : Julie a payé 4 euros pour des cerises coûtant 5 euros le kg. Quelle quantité a-t-elle achetée ?

Raisonnement : Le nombre de kg est égal au prix total divisé par le prix au kg. On obtient donc l'opération suivante : 4 ÷ 5 = 0,9 Elle a acheté 0,9 kg de cerises.

Exemple d'utilisation de la division euclidienne :

Pour fêter son anniversaire, Stéphanie souhaite partager équitablement toute une boîte contenant 75 chocolats avec 6 de ses amis. Combien chacun va-t-il recevoir de chocolats ? Combien va-t-elle lui en rester ?

La division euclidienne permet de résoudre ce problème car il s'agit ici de distribuer les chocolats sans les couper, même s'il en reste. On appelle aussi ce modèle celui de la division avec reste.

Posons donc la division de 75 par 6 .

On dit :

  • « Dans 7 combien de fois 6 ? On peut le faire une seule fois : Je marque 1 dans le quotient .
  • « 7 moins 6 est égal à 1 : Il nous reste donc 15 dans la division.
  • « Dans 15 combien de fois 6 :  On peut mettre 2 fois 6 dans 15.
  • « 15 moins 12 est égal à 3 ».
  • Donc le quotient est égal à 3

La réponse au problème est donc la suivante :  Stéphanie donnera 12 chocolats à chacun de ses amis. Il lui en restera 3.

Vocabulaire :

Dans l'exemple ci-dessus :

  • le dividende est 75 : c'est le nombre qui est divisé par un autre (nombre de chocolats).
  • le diviseur est 6 : c'est le nombre qui divise (nombre d'amis).
  • le quotient est 12 : cela signifie le « nombre de fois ». Ici c'est le nombre de fois que l'on peut mettre le diviseur dans le dividende (nombre de chocolats par ami).
  • le reste est 3 : le sens de ce mot semble suffisamment clair, n'est-ce pas ? (nombre de chocolats restant)

Remarques :

Dans l'exemple, le reste 3 est forcément inférieur à 6 (inférieur signifie plus petit). En effet, s'il restait plus de

6 chocolats, Stéphanie pourrait encore en distribuer à ses amis et, dans ce cas, le quotient serait supérieur à 12 (supérieur signifie plus grand). Donc pour avoir le partage le plus complet possible, le reste doit toujours être inférieur au quotient. Pour la même raison, on ne peut avoir un reste égal au quotient. Cette remarque sera valable pour toutes les divisions euclidiennes.

Critères de divisibilité

Diviseurs d'un nombre entier

Activité :

Lorsque la division euclidienne de deux nombres a un reste nul, le quotient devient alors le résultat exact de la division de ces deux nombres. Posons, par exemple, la division euclidienne de 111 par 3 :

111 divisé par 3 est égal à 37 avec un reste nul.

Puisque le reste est nul (c'est à dire égal à zéro), on obtient un résultat exact. Dans ce cas, on  dit que 37 est un diviseur de 111 .

Les critères

Il n'est pas toujours nécessaire de poser la division euclidienne pour savoir si un nombre entier en divise un autre. Pour cela, on a des méthodes pratiques appelées critères de divisibilité. Ils permettent de savoir si un nombre entier en divise un autre ou pas.

Ces critères sont à connaître au même titre que des propriétés !

Critère de divisibilité par 2 :

Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair ; c'est à dire égal à 0 , 2 , 4 , 6 ou 8 . Par exemple, 57436 est divisible par 2 car son chiffre des unités est pair. On peut vérifier que 1246÷2=623 est bien un entier.

Critère de divisibilité par 3

Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est dans la table de 3 .

Par exemple, 431 511 est divisible par 3 car 4+3+1+5+1+1=15 , et 15 est bien dans la table de 3 . On peut vérifier que 431 511÷3=143 837 est bien un entier.

 Critère de divisibilité par 4 (ne pas apprendre par cœur mais à savoir utiliser)

Pour savoir si un nombre entier est divisible par 4 , il suffit de vérifier que le nombre formé par ses deux derniers chiffres (unités et dizaines) est divisible par 4 .

Par exemple, 1928 est divisible par 4 car 28 est divisible par 4 . On peut vérifier que 1928÷4=482 est bien un entier.

Critère de divisibilité par 5

Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est égal à 0 ou 5 . 12 345 et 6 420 sont, par exemple, divisibles par 5 .

Critère de divisibilité par 9

Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est dans la table de 9 .

Par exemple, 711 405 est divisible par 9 car 7 + 1 + 1 + 4 + 0 +5 = 18 et 18 est bien dans la table de 9 . On peut vérifier que 711 405÷9=79 045 est bien un entier.

Critère de divisibilité par 10

Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est égal à 0 . On cherchera des exemples tout seul...

Division décimale

On se limite aux divisions d'un nombre décimal par un nombre entier.

Rappels :

Pour bien comprendre l'activité, il est utile de connaître les points suivants :

  • Partie entière et partie décimale
  • Le rôle de chaque chiffre dans un nombre décimal (chiffre des unités, dizaines, centaines... ; dixièmes, centièmes, millièmes...)
  • Dans un nombre décimal, la place de la virgule dans le nombre (la virgule est placée entre le chiffre des unités et le chiffre des dixièmes)
  • 76 peut être vu comme 7 dizaines et 6 unités ou bien comme 76 unités ;
  • De même, 6,4 peut être vu comme 6 unités et 4 dixièmes ou bien comme 76 dixièmes..

Définition :

Diviser un nombre par un autre, c'est chercher combien de fois le second, qui se nomme diviseur, est contenu dans le premier, qui se nomme dividende : le résultat de cette opération se nomme quotient. La méthode qui permet de calculer ce quotient est la division décimale.

Point méthode :

Dans la division décimale, il faut placer la virgule, (s'il y en a une), dans le quotient avant d'abaisser le chiffre des dixièmes du dividende.

Des divisions de tête

3,6÷9=... ; 1÷2=... ; 1÷4=... ; 1÷5=... ; 1÷10=... ; ...

Des divisions décimales à savoir refaire Calcule 342÷24 et 1÷8 .

Résolution de problèmes

Lors de la résolution d'un problème, il est nécessaire de justifier chaque réponse par des calculs et des phrases afin d'expliquer la démarche suivie. Il faudra aussi faire le choix entre division euclidienne et division décimale. Voici deux exemples.

Remarque :

Parfois la division décimale ne s'arrête pas ; par exemple pour  10÷3 :

Dans ce cas, la division décimale ne permet pas d'obtenir le résultat exact (appelé quotient). Dans un problème, si ce cas de figure se produit, il faudra donc donner une valeur approchée.

Notation : Le symbole ≈ signifie « environ égal à ». On a, par exemple, 10÷3≈3,33 .

Division par 10, 100, 1000

Propriété

Pour diviser un nombre décimal par 10 , 100 ou 1000 ; il suffit de décaler la virgule de 1 , 2 ou 3 chiffres vers la gauche, en complétant au besoin par des zéros.

Exemples :

DividendeDiviseurValeur
31581,1100003,15811
44,621910000,0446219
99,3662109,93662
18,55810000,018558
126,5191012,6519

Exercices

Exercice 1 : Résoudre les problèmes suivants (en faisant bien attention aux unités !) :

  • 1. Combien de bouteilles de 0,75L peut-on remplir avec un bidon de 6L d’eau ?
  • 2. J’achète 850 g de viande de bœuf pour 13,77€. Quel est le prix au kg de cette viande ?
  • 3. Une feuille de papier fait environ 0,1 mm d’épaisseur. Combien y a-t-il de feuilles de papier dans une pile de 3,2 cm de haut ?

Corrigé :

  • 1. On cherche ici à effectuer la division du bidon de 6L d'eau par le volume de la bouteille de 0.75L. On effectue donc : 6/0.75 = 8. On peut donc remplir 8 bouteilles de 0.75L avec un bidon de 6L.
  • 2. On a 0.850Kg de viande pour 13.77€. On cherche à déterminer le prix de 1kg de viande. On a donc :
    • 0,850Kg ==> 13,77€
    • 1 kg ==> x
  • D'où 0.850*x = 13.77*1. On en déduit x = 13,77/0,850 = 16,20€. Le prix au kilo de viande de bœuf est donc de 16.20€.
  • 3. On sait que 3,2cm = 32mm. On a donc 0,1*x = 32mm avec x le nombre de feuilles de papier. On en déduit le nombre de feuilles x = 32/0,1 = 320 feuilles de papier.

 

Exercice 2 :  Calculer les quotients suivants sans calculatrice, en reprenant la méthode donnée dans l’encadré ci-dessus

  • 5,6÷0,7
  • 14,4÷ 0,12
  • 35 ÷0,25
  • 0,54 ÷0,036
  • 0,42÷0,6
  • 5÷0,125

 

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