Exercice 1

1. Les hypothèses sont :

C milieu de [BD]

F milieu de [EF]

G milieu de [FD]

EF = FG = GD

2. Démontrons que (BF) // (CG)

Dans le triangle BFD

On a G milieu de [FD]

C milieu de [BD]

D'après le théorème des milieux : Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté.

Donc (BF) // (CG)

3. Démontrons que B est le milieu de [AE]

Dans le triangle AGE

On a F milieu de [EG]

(BF) // (CG)

D'après la réciproque du théorème du théorème des milieux : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Donc B est le milieu de [AE]

Exercice 2

2. On a un quadrilatère AMNC. Les diagonales [AN] et [MC] se coupent en leur milieu : le point G.

G milieu de [MC] car MG = GC

G milieu de [AN] car N symétrique de A par rapport à G.

Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu alors c'est un parallélogramme.

Donc AMNC est un parallélogramme.

3. Dans le triangle BGD

On a M milieu de [BG] car BM = MG

On a (MN) // (BD) car la parallèle à la droite (MN) passant par le point B coupant la droite (GN) en un point O est la droite (BD)

D'après la réciproque du théorème des milieux : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Donc N est le milieu de [GD].

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Olivier

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