Bases géométriques triangulaires

Généralités

Définition : un triangle est un polygone à trois côtés.

Définition : il existe 4 types de triangle dont 3 types particuliers : quelconque, sans particularités, isocèle avec 2 côtés égaux, équilatéral avec 3 côtés égaux et rectangle avec un angle droit.

Propriété : la somme des mesures des angles d'un triangle fait 180°.

Propriété : Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés opposés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de celui-ci.

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Droites dans le triangle

Définition :

• La médiane issue d'un sommet est la droit passant par ce sommet et le milieu du côté opposé.

• La hauteur issue d'un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé.

• La médiatrice d'un segment est la droite passant par le milieu de ce segment et perpendiculaire à celui ci.

• La bissectrice d'un angle est la droite coupant celui ci en deux angles égaux faisant chacun la moitié de l'angle initial.

Propriétés :

• Les trois médianes se coupent en un point appelé le centre de gravité du triangle.

• Les trois hauteurs se coupent en un point appelé l'orthocentre du triangle.

• Les trois médiatrices se coupent en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle, c'est à dire le cercle passant par les trois sommets du triangle.

• Les trois bissectrices se coupent en un point qui est le centre du cercle inscrit du triangle, c'est à dire le cercle tangent aux trois côtés du triangle.

Propriétés des triangles particuliers

Propriétés du triangle isocèle

• Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues de A et la médiatrice de la base [BC] sont confondues.

• Les deux angles à la base d'un triangle isocèle ont même mesure. (la réciproque est vraie)

Propriétés du triangle équilatéral :

• Dans un triangle ABC équilatéral, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues d'un sommet et la médiatrice du côté opposé sont confondues.

• Il vient que l'orthocentre, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit sont confondus.

• Les angles d'un triangle équilatéral ont même mesure, c'est à dire 60°.

Propriétés du triangle rectangle

• Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté le plus grand du triangle, et la médiane relative à l'hypoténuse mesure la moitié de l'hypoténuse. (la réciproque est vraie).

• Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse, le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse (la réciproque est vraie).

• Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires (leur somme fait 90°)