A quoi sert la géométrie ? Les formes géométriques sont présentes partout autour de nous dans le monde et dans notre vie quotidienne. Qu’elles soient dans une géométrie plan ou dans une géométrie spatiales, elles sont très utilisées, notamment dans le domaine des jeux vidéos. En effet, les premiers jeux vidéos 3D étaient principalement constitués de polygones grossiers.

Les triangles et ce qu’il faut savoir les concernant

Définition

Le triangle se définit comme une figure plane dotée de trois côtés et angles. Ses trois angles sont nommés sommets et les trois segments qui relient ces sommets se nomment les côtés.

Propriétés concernant les triangles

  • La somme des angles d’un triangle est égale à 180° ;
  • Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés opposés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de celui-ci ;
  • Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues de A et la médiatrice de la base [BC] sont confondues ;
  • Dans un triangle ABC équilatéral, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues d’un sommet et la médiatrice du côté opposé sont confondues et donc l’orthocentre, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit sont confondus ;
  • Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse mesure la moitié de l’hypoténuse ;
  • Dans un triangle rectangle, le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l’hypoténuse, le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l’hypoténuse ;
  • Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires car leur somme est de 90°.

Les différents types de triangles existant

Comment apprendre efficacement ses leçons ? Il peut être intéressant de connaître la liste des différents triangles existant ainsi que les propriétés qui leurs sont associées afin de réussir avec une facilité déconcertante les démonstrations et autres exercices pouvant être proposés à l’examen de fin d’année.

Il existe plusieurs types de triangles. Chacun d’entre eux dispose de caractéristiques particulières.

Le triangle plat

Le triangle plat est un triangle dont les sommets sont alignés. Visuellement, il ressemble à une droite.

Le triangle isocèle

Le triangle isocèle est un triangle qui dispose d’au moins deux côtés de même taille, ce qui fait que les deux angles adjacents à ce côté sont de même mesure.

Le triangle équilatéral

Le triangle équilatéral est un triangle particulier dans lequel tous les côtés sont de même longueur. Il en résulte que tous ses angles soient de 60° puisque la somme des angles d’un triangle est de 180°.

Le triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont l’un des angles mesure 90° et est donc un angle droit. Le côté opposé à cet angle droit est appelé l’hypoténuse. Les deux autres côtés sont les cathètes.

Le triangle obtusangle

Un triangle obtusangle est un triangle dont un angle est supérieur à 90° et les deux autres inférieurs à 90°.

Le triangle acutangle

Le triangle acutangle est un triangle dont aucun des trois angles ne mesure plus de 90°.

Les opérations dans les triangles et les théorèmes associés

De nombreux théorèmes existent afin de calculer les mesures des côtés d’un triangle ou encore les mesures des angles de ces derniers. On y retrouve par exemple les célèbres théorèmes de Pythagore et théorèmes de Thalès.

Le théorème de Pythagore

Quels livres acheter pour être meilleur ? Les différents théorèmes mathématiques sont connus et utilisés partout dans le monde. Ils sont très important dans la résolution d’exercices, qu’ils soient simples ou même complexes.

Un peu d’histoire

Pythagore était un philosophe grec ayant vécu entre 580 et 495 avant Jésus-Christ. C’était un personnage très instruit qui a laissé ses traces dans de multiples domaines comme la musique, la géométrie, l’arithmétique, la médecine ou encore l’astronomie. Passionné de sciences, il ne cessa de faire des recherches toutes sa vie. Aujourd’hui encore, c’est à lui qu’on doit le théorème de Pythagore, les tables de multiplications, le nombre d’or. Il reste une figure incontournable des sciences.

Énoncé

Pythagore a énoncé dans son théorème la phrase suivante :

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Explication

Cela signifie que pour un triangle ABC rectangle en A : AB² + AC² = BC².

Utilité

Le théorème de Pythagore est très fréquemment utilisé afin de pouvoir démontrer qu’un triangle est rectangle ou ne l’est pas. On utilise pour cela la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore :

Si AB² = AC² + BC² alors le triangle ABC est rectangle en C.

Si AB² n’est pas égal à AC² + BC² alors le triangle n’est pas rectangle en C. En effet, si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle n’est pas rectangle.

Méthodologie

On cherche l’hypoténuse

Ce théorème va, en effet, permettre de calculer précisément des longueurs :

Dans le cas où on a un triangle ABC rectangle en B dont les mesures sont : AB = 3 cm et BC = 4 cm. On cherche le côté AC qui est l’hypoténuse.

On commence par une introduction

Puisque le triangle est rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore

On écrit l’égalité

AC² = AB² + BC²

On continue le calcul

AC² = 3² + 4²

AC² = 9 + 16

AC² = 25

On supprime la racine

AC = √25

AC = 5

Une phrase de conclusion

[ AC ] mesure 5 cm.

On cherche un autre côté

Prenons le même triangle que dans l’ exercice précédent sauf que nous ne connaissons pas AB et nous connaissons AC qui mesure 5 cm .

On commence par une introduction

Puisque nous sommes dans le cas où le triangle est rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore

On écrit l’égalité

AC² = AB² + BC²

5² = AB² + 4²

Nous mettons l’inconnu en premier donc nous transformons l’opération en soustraction

AB² = 5² – 4²

On remplace

AB² = 25 – 16

AB² = 9

On supprime la racine

AB = √9

AB = 3

On conclue avec une petite phrase

[ AB ] mesure 3 cm.

Peut-on demander de l'aider pour un devoir maison à un professeur ? Il est très important de connaître les différentes méthodologies pour que les exercices ne soient que plus faciles à réaliser.
Alors apprenez les différentes étapes listées ci-dessus et entraînez-vous régulièrement afin d’être prêt pour les examens de fin d’année.

La réciproque du théorème de Pythagore

Énoncé

Si, dans un triangle, le carré du plus grand des côté est égal à la somme des carrées des 2 autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Son hypoténuse est le côté le plus grand.

Explication

Si on a l’égalité AC² = BC² + AB², alors le triangle ABC est rectangle en B

Exemple

MN=5, NP= 4, PM= 6

Le côté le plus long est [MN]

MN²= 5² = 25

NP² + PM² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

On constate que MN² = NP² + PM²

De ce fait, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en P.

Le théorème de Thalès

Énoncé

Dans un triangle ABC, si le point D est sur la droite (AB) et le point E sur la droite (AC) et que (DE) et (BC) sont parallèles, alors :

    \[ \frac { A D } { A B } = \frac { A E } { A C } =\frac { D E } { B C } \]

Utilité

Le théorème de Thalès permet de faire des calculs sur les triangles. Il en découle d’autres théorèmes ou règles, tel que le théorème de la droite des milieux.

Il stipule la phrase suivante :

Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle, alors il est parallèle au troisième côté, et sa longueur est égale à la moitié de celle de ce troisième côté

La réciproque du théorème de Thalès

  • Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A.
  • Soient B et M deux points de (d) distincts de A.
  • Soient C et N deux points de (d’) distincts de A.

Alors, si et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

On peut également la formuler autrement :

Dans un triangle ABC, soient les points D et E appartenant respectivement aux segments  [AB] et [AC],

    \[\text { si } \frac { A D } { A B } \text { et } \frac { A E } { A C } }\]

sont égaux, alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Exercice

MNP et NPQ sont 2 triangle tel que :

MN = 5cm ; NP = 4 cm ; MP = 3 cm ; PQ = 6 cm.

De plus M, P et Q sont alignés.

1) Faire le dessin en vrai grandeur.

2) Calculer une valeur arrondie au dixième de NQ.

Correction

→ [MN] est le plus grand côté du triangle MNP

MN² = 5² = 25                                 MP² + PN² = 3² + 4²

= 9 + 16

= 25

Donc MN² = MP² + PN²

D’après la réciproque du théorème de Pythagre, le triangle MNP est rectangle en P.

Donc le triangle MNP est rectangle en P

→  NPQ est un triangle rectangle en P, d’après le théorème de Pythagore :

NQ² = NP² + PQ²

NQ² = 4² + 6²

NQ² = 16 + 36

NQ² = 52

NQ  ≈ 7.2

Donc NQ ≈ 7.2

Autres exercices d’applications

Exercice 1

  • Un triangle ABC rectangle en B dont les côtés mesures, AB = 5 cm et BC = 12 cm. Calculez AC.
  • Un triangle ALP rectangle en L dolt les côtés mesures : AL = 6 cm et AP = 12 cm. Calculez L.

Exercice 2

ABC est un triangle rectangle en B, tel que AC = 9 cm et BC = 5,4 cm

Calculer un arrondi au dixième de la longueur AB

Correction de l’exercice 2

On sait que ABC est un triangle rectangle en B. Donc, d’après le théorème de Pythagore :

AC² = AB² + BC²

9² = AB² + 5,4²

81 = AB² + 29.16

AB² = 81 – 21.16

AB² = 51,84

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Joy

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