Opération de deux  nombres relatifs

Règle des signes

Propriété ( Règle des signes) : Le PRODUIT de deux nombres relatifs de même signe est positif.  Le PRODUIT de deux nombres de signes contraires est négatif.

Produit+-
++-
--+

Produit de deux nombres relatifs

Propriété : Pour multiplier deux nombres relatifs :

  • 1. On applique la règle des signes
  • 2. On multiplie les distances à zéro.

Exemples :  3,5 × (-2) = - (3,5 × 2) = -7     (-3) × (-4) = + (3 × 4) = 12. Cas d'une division en écriture décimale On applique la règle des signes.

  • Le quotient de deux nombres de même signe est positif. −18,2÷−3,5=18,2÷3,5=5,2
  • Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif. 18,2÷−3,5=-(18,2÷3,5)= −5,2

Cas d'une division en écriture fractionnaire On transforme la division en une multiplication par l'inverse et on applique la règle des signes. • 1er exemple : frac{a}{frac{b}{c}} = a*frac{c}{b} • 2e exemple : frac{a}{frac{-b}{c}} = -a*frac{c}{b}

Règle des nombres relatifs

Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs la règle est la suivante : La distance à zéro (ou valeur absolue) du résultat s'obtient en multipliant (ou divisant) les distances à zéro des deux nombres. Le signe du résultat s'obtient grâce à la fameuse règles des signes : PLUS par PLUS donne PLUS PLUS par MOINS donne MOINS MOINS par PLUS donne MOINS MOINS par MOINS donne PLUS 'par' pour 'multiplié par' ou 'divisé par' : la règle des signes est la même pour les deux opérations. Exemples : (+ 3) x (- 5) = (- 15) (+ 2,5) x (+ 3) = (+ 7,5) (- 11) x (- 6) = (+ 66) (- 42) ÷ (+ 7) = (- 6) (- 21) ÷ (- 6) = (+ 3,5)   La multiplication des nombres relatifs doit conserver les propriétés connues de la multiplication et des nombres. Par exemple :

  • (+ 2) x (+ 3) c'est la même chose que 2 x 3 : donc le résultat est 6, ou (+ 6).
  • (+ 3) x (- 5) c'est la même chose que 3 x (- 5) = (- 5) + (- 5) + (- 5) = (- 15)
  • La multiplication est commutative (on peut changer l'ordre) donc (- 5) x (+ 3) = (- 15)

Ainsi se justifient les trois premières lignes de la 'règle des signes' pour la multiplication. C'est un peu plus compliqué pour la multiplication de deux nombres négatifs. Considérons le calcul : A = (- 5) x [ (+ 3) + (- 3) ] A = (- 5) x 0 parce que (+ 3) + (- 3) = 0 (somme de deux nombres opposés) A = 0. Mais comme la multiplication est distributive par rapport à l'addition, on a aussi A = (- 5) x (+ 3) + (- 5) x (- 3) donc A = (- 15) + (- 5) x (- 3) Comme on sait que le résultat est A = 0, on en déduit que (- 15) + (- 5) x (- 3) doit être égal à 0. Pour cela il faut que (- 5) x (- 3) = (+ 15) (l'opposé de (- 15) ) Ainsi se justifie la dernière ligne de la règle des signes pour la multiplication.

La division

Une division donne le résultat d'une multiplication à trou : (+8) ÷ (+2)= ? c'est comme ? x (+2) = (+8) ===>? = (+4), donc (+8) ÷ (+2) = (+4) (-15) ÷ (+3)= ? c'est comme ? x (+3) = (-15) ===>? = (-5 ), donc (-15) ÷ (+3) = (-5) (+24) ÷ (-6)= ? c'est comme ? x (-6) = (+24) ===>? = (-4), donc (+24) ÷ (-6) = (-4) (-14) ÷ (-7)= ? c'est comme ? x (-7) = (-14) ===> ? = (+2), donc (-14) ÷ (-7) = (+2)  

Produit d’un nombre relatif par (-1)

Remarque : Multiplier un nombre par (-1) revient à prendre l’opposé de ce nombre. Exemples :  -  3,5 × (-1 ) = - (-3,5) = 3,5 (-1) × 1,2 = -1,2 (-1) × (-1) = - (-1) = 1. Notation :  l’opposé du nombre a se note – a. Attention : - a peut être un nombre positif dans le cas où a est négatif. Exemple : - (-2,1) = 2,1 

Carré d’un nombre relatif

Rappel : Le carré d’un nombre relatif a est le produit de ce nombre par lui-même. Remarque : Le carré d’un nombre relatif est un nombre positif (d’après la règle des signes). Exemples :  82 = 8 × 8 = 64 ;                 (-5)2 = (-5) × (-5) = 25 On notera qu'il n'est pas possible d'effectuer un calcul du carré d'un nombre relatif avec deux signes différents.

Opération de plusieurs nombres relatifs

Règle des signes « répétés »

Propriété (Règle des signes « répétés ») : Un produit de nombres relatifs est positif s’il comporte un nombre pair de facteurs négatifs. Un produit de nombres relatifs est négatif s’il comporte un nombre impair de facteurs négatifs. Exemples : −4 × −2,7 × 3 × −1,7 × −5,2 × 7 est un produit contenant quatre facteurs négatifs, donc ce produit est positif. −2 × −5 × −4 × 3 est un produit contenant trois facteurs négatifs, donc ce produit est négatif.

Produit de plusieurs nombres relatifs

Propriété :  Pour multiplier deux nombres relatifs :

  • 1. On applique la règle des signes « répétée ».
  • 2. On multiplie les distances à zéro.

Exemple : (-5) × (-2) × 3 × (-7) =  – (5 × 2 × 3 × 7) = - 210.

Division de nombres relatifs

Le quotient de a par b, noté   a / b est le nombre relatif qui, multiplié par b, donne a. Exemple : (- 35) / 5  est le nombre qui, multiplié par 5, est égal à (- 35). Or,  (-7) × 5 = - 35. On en déduit que (- 35) / 5 = - 7. Règle des signes Propriété: Le QUOTIENT de deux nombres relatifs de même signe est positif.  Le QUOTIENT de deux nombres de signes contraires est négatif. Pour diviser deux nombres relatifs :

  • On applique la règle des signes
  • On divise les distances à zéro.

Exercices

Exercice 1 : Divisions assistées Pour calculer les quotients donnés, compléter en utilisant les expressions proposées : "de même signe" ; "de signes contraires" ; "positif" ; "négatif" ; "quotient". a) Calcul de 12 / (-4) : Les deux nombres sont .............................. dont le quotient est ..................... . J'en déduit que : 12 / (-4) = -3. b) Calcul de (-9) / (-18) : Les deux nombres sont ........................... donc le quotient est ...................... . J'en déduis que : (- 9) / (- 18) = 0,5. c) Calcul de (-45) / 15 : Les deux nombres sont ............................ donc le quotient est ...................... .J'en déduis que : -45 / 15 = -34.   Exercice 2 : Divisions Calculer sans poser les opérations : 12 / (-4) ; -36 / (-9) ;  -9 / 2 ; -14,6 / (-2) ; 0 / (-4) ; 9,3 / (-3)   Exercice 3 : Signes de quotients plus complexes Détermine le signe des quotients donnés. a) Calcul de (12 x (-2)) / ((-4) x (-8)) Le numérateur 12 x (-2) comporte.....facteur(s) négatif(s) donc il est ............ Le dénominateur -4 x (-8) comporte .... facteur(s) négatif(s) donc il est ...... Le numérateur et le dénominateur de ce quotient sont de signes .................. donc le quotient est ........................ . b) Calcule de (1 x (-2) x 3) / (4 x (-7)) Le numérateur 1 x (-2) x 3 comporte ....... facteur(s) négatif(s) donc il est ................ . Le dénominateur 4 x (-7) comporte .......... facteur(s) négatif(s) donc il est ............... . Le numérateur et le dénominateur de ce quotient sont de .................. signes donc le quotient est ........................ . c) Calcul de : - (-2,1) / (-12) x (-4,2) Le numérateur - (-2,1) comporte ....... facteur(s) négatif(s) donc il est ............... . Le dénominateur (-12) x (-4,2) comporte .......... facteur(s) négatif(s) donc il est ............... . Le numérateur et le dénominateur de ce quotient sont de .................. signes donc le quotient est ........................ .

Corrigés

Exercice 1 : a) Calcul de 12 / (-4) : Les deux nombres sont 12 et -4 dont le quotient est -3 . J'en déduit que : 12 / (-4) = -3. b) Calcul de (-9) / (-18) : Les deux nombres sont -9 et -18 donc le quotient est 1/2 . J'en déduis que : (- 9) / (- 18) = 0,5. c) Calcul de (-45) / 15 : Les deux nombres sont -45 et 15 donc le quotient est -3 . J'en déduis que : -45 / 15 = -34. Exercice 2 :  12 / (-4)  = -3 -36 / (-9) = 4 -9 / 2 = -4,5 -14,6 / (-2) = 7,3 0 / (-4) = 0 9,3 / (-3) = -3,1 Exercice 3 : a) Calcul de (12 x (-2)) / ((-4) x (-8)) Le numérateur 12 x (-2) comporte 1 facteur négatif donc il est négatif. Le dénominateur -4 x (-8) comporte 2 facteurs négatifs donc il est positif. Le numérateur et le dénominateur de ce quotient sont de signes opposés donc le quotient est négatif. b) Calcule de (1 x (-2) x 3) / (4 x (-7)) Le numérateur 1 x (-2) x 3 comporte 1 facteur négatif donc il est négatif. Le dénominateur 4 x (-7) comporte 1 facteur négatif donc il est négatif . Le numérateur et le dénominateur de ce quotient sont de mêmes signes donc le quotient est positif. c) Calcul de : - (-2,1) / ((-12) x (-4,2)) Le numérateur - (-2,1) comporte 2 facteurs négatifs donc il est positif. Le dénominateur (-12) x (-4,2) comporte 2 facteurs négatifs donc il est positif. Le numérateur et le dénominateur de ce quotient sont de mêmes signes donc le quotient est positif.

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