Présentation

Avec patience, beaucoup d'entre vous attendent la démonstration par récurrence, promise, du théorème dit de "Montcuq et ses agrégés".

Votre patience sera récompensée ; foi de professeur !

Mais puisque tu t'es initié(e) aux principes de base d'une démonstration par récurrence, pourquoi n'en profiterions-nous pas pour nous approprier (toi et moi) une question d'A.M.C. ?

Je te propose la 26 ème question du concours A.M.C. (niveau Intermédiaire) qui s'est déroulé en 2006.

Comme tu le sais, la difficulté des questions posées lors de ces concours va crescendo, donc une 26 ème question, parmi 30,  n'est pas de la même facture que la 6 ème ou la 16 ème.

Et pourtant regarde comment elle devient (relativement) facile à résoudre, maintenant que tu sais que : 1 + 3 + 5 ... est égal à n2, si cette somme de nombres entiers impairs contient  n termes.

Voici la question telle qu'elle a été posée en 2006.

Je te donne la réponse. Essaie de résoudre tout de même cette question avant de vouloir  accéder à sa solution détaillée (que je promets de te donner incessamment).

Réponse

La réponse à cette question est : p + q = 032 où le couple (p ; q) est la solution de l'équation ((p+1)/2)2 + ((q+1)/2)2 = 132 avec 1+3+....+25 = 132.

Remarque : 122 + 52 = 144 + 25 = 169 = 132

Cette équation vient du fait que : 1 + 3 + 5 + ...+ p = ((p+1)/2)2  car le nombre impair p est le (p+1)/2 ième nombre impair en commençant par 1. Tout comme 25 en est le (25+1)/2 ième = 13 ième. Voir l'exercice du document "Principe du raisonnement par récurrence" dans ce même dossier "Raisonnement par récurrence"..

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Clément M

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

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