Ne disposant pas d'une touche spéciale pour faire figurer une racine carrée, j'utiliserai un « V » pour dire « racine carrée de ».

I – Définition

                A étant un nombre positif ou nul, la racine carrée de A est le nombre positif qui a pour carré A dont le carré est égal au nombre A.    On note ce nombre   Va.    Le symbole   V   s'appelle un radical.

Conséquences :

+   Va  est un nombre positif ou nul

+   (Va) ² =  a

Exemples :

V4 = 2 car 2² = 4 et 2 est positif

V9 = 3 car 9/3= 3

V16 = 4 car 16/4 =4

V100 = 10 car 100/10 = 10

V(4/9) = 2/3 car (2/3)² = 4/9   et   2/3 > 0

V 0.04 = 0.2 car (0.2)² = 0.04 et 0.2 > 0

(V-3)² = 3

Applications :

ð   Simplifier A

A = (3V2/2)²

   = ((3*V2)²)/ 2²

   = (3² * (V2)²)/ 2²

   = (9*2)/4

   = 9/2

ð   Développer puis simplifier B

B = V2 (2V2-3)

   = (V2 * 2V2) – (V2 * 3)

   =2 (V2)² - 3V2

   =2*2 – 3V2

   = 4 – 3V2

STOP on ne peut plus simplifier !

II – Nombres irrationnels

Dans les exemples précédents, on a remplacé les racines carrées par des nombres entiers, des décimaux ou des fractions. Mais il existe des racines carrées qui ne peuvent être remplacées par aucun de ces nombres, on les appelle des nombres irrationnels.   V2 ; V3 ; V5 ; V6 ; V7 … sont des nombres irrationnels.

On peut soit de tête, soit en utilisant une calculatrice, trouver des valeurs approchées de ces nombres.

A essayer de retenir si ce n'est pas déjà fait auparavant car c'est très utile dans le futur : => les carrés parfaits

1²= 1       ;             7²= 49

2²=4        ;             8²= 64

3²=9        ;             9²=81

4²=16     ;             10²= 100

5²=25     ;             11²=121

6²=36     ;             12²=144

Exemples :

1)      Soit V23

On a :   16 < 23 < 25

               4² < 23 < 5²

Donc      4 < V23 < 5.

On a donc encadré V23 entre deux entiers consécutifs. Pour avoir une valeur approchée, il faut utiliser la calculatrice.

                                             On a V23 = 4.8 (arrondi au dixième)

2)      Soit V2

1< 2<4

1²<2<2²

1<V2<2

On a V2 = 1.4

1.4 <V2< 1.5 (encadrement au dixième près)

1.41<V2< 1.42 (encadrement au centième près).

On peut donc trouver des valeurs approchées de V2 de plus en plus précises…

Application :

Simplifier les expressions suivantes

A = -3V2 + 5V2

    = (-3+5)V2

     = 2V2

B = 7V3 + 10V3

   = (7+10) V3

   = 17V3

MAIS on ne peut pas simplifier => C= V2 + 3V3.

III – Propriétés

1)      Produit de deux racines

a et b étant deux nombres positifs ou nuls, montrons que Va * Vb = Va*b.

Démonstration :

a et b étant deux nombres positifs ou nuls.

Va *Vb et  Va*b sont deux nombres positifs ou nuls. Pour montrer l'égalité de ces deux nombres, on va montrer l'égalité de leurs carrés.

(Va*Vb)² = (Va)²*(Vb)²                                                     (Va*b)² = a*b

                  = a*b                                                                  (Va*b)² = (Va*Vb)².

Donc   Va*Vb   =  Va*b.

Propriété 1 :

Soit a et b étant deux nombres positifs ou nuls,    Va*Vb = Va*b.

Application :

a)      Simplifier :

A = V50 * V2

    = V50*2

    = V100

    = 10

B = 3V2*5V3*V6

   = 3*5*V2*V3*V6

   = 15*V6*V6

   = 15*(V6)²

   = 15*6

   = 90

b)      Ecrire D sous la forme aVb ou a et b sont des entiers et où b est le plus petit possible.

Méthode: Il faut transformer 63 en un produit contenant le plus possible de carrés parfaits.

D = V63

    = (V7*9)

    = V7*V9

    = V7*(V3)²

    = V7*3

    = 3V7

Exemple Bilan :

E = 2V3(3V2-4V3)

   = (2V3*3V2)-(2V3*4V3)

   = (2*3*V3*V2) – (2*4(V3)²)

    = 6V6 – 8*3

    = 6V6 – 24.

2)      Quotients de deux racines

Propriété 2 :

a et b étant deux nombres positifs ou nuls (b différent de 0)

(Va)/(Vb)  =   V(a/b)

On admet ce résultat mais on pourrait le démontrer comme précédemment.

Application :

a)      Simplifier

A = (V18)/(V50)

   = V(18/50)

   = (V9) /(V25)

   = (V3)²/(V5)²

   = 3/5

b)      Ecrire ce quotient sans radical au dénominateur.

Soit   A= (2/(V3)).

Pour  « neutraliser » V3 qui est un dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par V3.

(2/(V3)) = (2*V3)/(V3*V3)

                = (2V3)/ 3.

ATTENTION :

Va * Vb   est DIFFERENT de  V(a+b).

Exemple numérique :

V16 + V9 = (V4)² + (V 3)²                              Mais V(16+9) = V25 = (V5)² = 5

                   = 4+3

                   = 7

                               On a    5     DIFFERENT de      7 .

IV – Résolution de l'équation de  x² = a.

But : Je cherche le ou les nombres qui ont pour carré  a .

ð  3 cas sont à envisager.

1er cas :      a est positif ( a > 0)

L'équation  x² = a  possède deux solutions :   Va   et   -Va.

2ème cas :   a est négatif ( a < 0)

L'équation  x² = a   est impossible.

3ème cas :  a est égal à 0 ( a = 0)

L'équation  x² = a   a une seule solution qui est 0.

Exemples :

Résoudre les équations suivantes :

a)        x² = 6

6 > 0 dons l'équation a deux solutions :   V6  et  -V6.

b)      x² = (3/4)

(3/4) > 0  donc l'équation a deux solutions :   V(3/4)   et  -V(3/4). Nous pouvons simplifier   V(3/4) = V3/V4 = V3/2.

Donc les solutions simplifiées sont : V3/2   et  - V3/2.

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Mathieu

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