Le plan est rapporté à un repère (O,I,J)

Caractérisation d'une équation de droite

Soit l'équation à deux inconnues y = 3x - 2.
Recherchez 5 couples solutions de cette équation.
Représentez dans un repère les points associés.

Recherchons des solutions.

Il faut choisir une valeur pour x puis calculons la valeur de y correspondante.
Par exemple :
Si x = 0 alors y = 3 x 0 - 2 ; y = -2
Un couple solution est (0 ; -2)

Si x = 1 alors y = 3 x 1 - 2 ; y = 1
(1 ; 1) est solution de l'équation

Si x = 2 alors y = 3 x 2 - 2 ; y = 4
Je trouve la solution (2 ; 4).

Si x = -1 alors y = 3 x (-1) - 2 ; y = -5
Un couple solution est (-1 ; -5)

si x = 1/2 alors y = 3 x 1/2 - 2 = 3/2 - 4/2 ; y = -1/2.
Un couple solution est (1/2 ; -1/2)
Représentons dans un repère (O,I,J) ces solutions sur un graphique en associant à chacun de ces couples un point qui a les mêmes coordonnées.

Tous les points sont alignés.
L' équation à deux inconnues y = 3x - 2 est une équation de droite.
Le nombre 3 représente la pente de la droite. C'est le coefficient directeur.
Le nombre -2 représente l'ordonnée du point d'abscisse 0, intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
C'est l'ordonnée à l'origine.

Equation d'une droite

Cas général :

Si la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées
alors son équation est de la forme y = ax + b, ou a et b sont des nombres.

a est le coefficient directeur.
b est l'ordonnée à l'origine.

Remarque : Si a = 0, (la pente est nulle), la droite d'équation y = b est parallèle à l'axe des abscisses.

Cas particuliers

Si la droite est parallèles à l'axe des ordonnées, alors son équation est de la forme x = c,
c est un nombre quelconque.
ex x = -2

EXERCICE 3 :
L'équation d'une droite peux s'écrire sous la forme y = ax + b.
Transformer les équations suivantes sous la forme y = ax + b
1° 6x + 6y = 2
2° -4x - 2y = -8
3° 4x - 3y = 9

SOLUTION EXERCICE 3 :
Isolons y dans chaque égalité

1° 6x + 6y = 2
6y = -6x+2
y=(-6x+2)/6
y=-6x/6+2/6
y=-x+1/3

2° -4x - 2y = -8
-2y = 4x - 8
y = -2x + 4

3° 4x - 3y = 9
-3y = -4x + 9
y = 4/3x - 3

Construire une droite d'équation donnée

On utilise deux points

Ex : tracer la droite d'équation y = -2x + 4

Calculons les coordonnées de deux point
de la droite :

Choisissons x
x = 0,
Calculons y
y = -2 x 0 + 4 = 4

Choisissons x
x = 1
Calculons y
y = -2 x 1 + 4 = 2

EXERCICE 1
Pour chaque cas, déterminer deux points de la droite en complétant un tableau
puis tracer la droite dans un repère (O ; I ; J) orthonormal.

(D1) y = 3x + 2
(D2) y = 4/3x - 1
(D3) y = 3
(D4) x = - 2

 

SOLUTION EXERCICE 1 -

 

Choisissons x et calculons y

Pour D1 : y = 3x + 2

Si x = 0 alors y = 3 x 0 + 2 = 2
Si x = -2 alors y = 3 x (-1) + 2 = -3 + 2 = -1

Pour D2 : y = 4/3x - 1

Si x = 0 alors y = -1
Si x = 3 alors y = 4/3 x 3 - 1 = 12/3 - 1 = 4 - 1 = 3
(on choisira pour x un multiple de 3)

Pour D3 : y = 3

Tous les points ont une ordonnée y égale à 3.
Ex : E(-1 ; 3), F(4 ; 3) ...

Pour D4 : x = -2

Tous les points ont une abscisse x égale à -2.
Ex : G(-2 ; 4) , H(-2 ; -3)

EXERCICE 2 :
Dans chaque cas, construire la droite d'équation donnée à l'aide
de l'ordonnée à l'origine et du coefficient directeur :

D1 : y = -4x + 2
D2 : y =-5/3x + 3
D3 : y = -5
D4 : x = 4

SOLUTION EXERCICE 2 -

D1 :
L'ordonnée à l'origine est b = 2 ; la droite passe par le point (O ; 2)
et le coefficient directeur est a = -4

 

D2 : L'ordonnée à l'origine est b = 3 ; la droite passe par le point (O ; 3)
et le coefficient directeur est a = -5/3

D3 : Le coefficient directeur est a = O
D3 est parallèle à l'axe des abscisses
L'ordonnée à l'origine est b = -5

D4 : La droite est parallèle à l'axe des odonnées.

Trouver l'équation d'une droite

Le plan est rapporté à un repère (O ;I ;J)

Droite définie par deux points

Exemple :

Déterminer l'équation de la droite (AB) qui pasees par les points A(-2 ; 9) et B(1 ; 3).

Méthode :
Les points A et B n'ont pas la même abscisse.

* L'équation de la droite est de la forme y = ax + b. (Il faut déterminer a et b).

* A(-2 ; 9) est un point de (AB), ses coordonnées vérifient l'équation de (AB) soit :

9 = a x (-2) + b (1)
* B(1 ; 3) est un point de (AB), ses coordonnées vérifient l'équation de (AB) soit :

3 = a x 1 + b (2)

* Il faut résoudre le système :

 

 

On reporte b=5 dans (2) ;

a + b = 3 (2)
a + 5 = 3

a = -2
L'équation de la droite (AB) est y = -2x + 5

EXERCICE 6 :
Dans un repère orthonormal (O,I,J) on donne les points A(-5;4) et B(0;6).

Il n'est pas demandé de faire de figure.

a ) Montrer que l'équation de la droite (AB) est y = 0,4x + 6

b ) Montrer que le point C (-10 ; 2) est un point de (AB)

SOLUTION EXERCICE 6
a) Déterminons l'équation de la droite qui passe par les points A(-5;4) et B(0;6).

A et B n'ont pas la même abscisse, l'équation de (AB) ets de la forme y = ax + b

Le point A(-5 ; 4) est un point de la droite donc ses coordonnées vérifient l'équation de (AB)
yA = axA + b
4 = -5a + b (1)

De même pour le point B(0 ; 6)

yB = axB + b
6 = 0a + b (2)

Il faut résoudre le système :

4 = -5a + b (1)
6 = 0a + b (2)

De l'équation (2) nous déterminons b = 6.

Reportons la valeur de b dans l'équation (1)

4 = -5a + 6 (1)
-2 = -5a
a = 2/5 = 0,4

L'équation de (AB)est bien y = 0,4x + 6.

b ) Montrons que le point C(-10 ; 2) est un point de (AB).

Si les coordonnées de C sont des solutions de l'équation de (AB) alors C est un point de (AB).

A-t-on yC = 0,4xC + 6 ?

Si x = -10
alors
y = 0,4 x (-10) + 6
y = -4 + 6
y = 2

Le couple (-10 ; 2) est bien solution de l'équation y = 0,4x +6

C(-10 ; 2) est un point de (AB).

Droite définie par un point et le coefficient directeur

Déterminer l'équation de la droite D qui passa par le point A(-2,5 ; 2) dont le coefficient directeur est -4.

L'équation de D est de la forme y = ax + b.

* Le coefficient directeur est -4 ( a = -4) donc y = -4x +b

* A(-2,5 ; 2) est un point de la droite, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite :

2 = -4 x (-2,5) + b
2 = 10 + b

-8 = b

L'équation de D est y = -4x - 8.

EXERCICE 5:
Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), on donne les points A(-5 ; 2) et B(4 ; -3).

Déterminer l'équation de la médiatrice de [AB]

 

SOLUTION EXERCICE 5
Soit un repère orthonormé (O ; I ; J), et les points A(-5 ; 2) et B(1 ; -6).
Déterminons l'équation de la médiatrice de [AB]

Nommons D cette médiatrice.
La médiatrice de [AB] est la droite qui passe par le milieu de [AB] et qui est perpendiculaire à (AB).
L'équation de D est de la forme y = ax + b.

a ) Calculons le coefficient directeur de Æ.

D est perpendiculaire à (AB) et le repère est orthonormé. Le produit des coeffcients directeurs de D et (AB) est donc égal à -1.

* Calculons a, le coefficient directeur de (AB)

Si a' représente le coefficient directeur de (AB), alors a' = (yB- yA)/(xB - xA)

a' = (-6 - 2)/(1 - (-5))

a' = -8/6

a' = - 4/3

* Déduisons le coefficient directeur de Æ

a est l'opposé de l'inverse de a'.

Donc a = 3/4

et D : y = 3/4x + b

b ) Calculons b, l'ordonnée à l'origine de D.

La médiatrice D passe par le milieu de [AB].

* Nommons K le milieu de [AB] et calculons ses coordonnées.

K(xK ; yK)

K[ (xA + xB) / 2 ; (yA + yB) / 2]

K[(-5+1) / 2 ; (2 - 6) / 2]

K (-2 ; -2)

* Les coordonées de K vérifient l'équation de Æ

yK = 3/4 xK + b

-2 = 3/4 x (-2) + b

-2 = -3/2 + b

-2 + 3/2 = b

b = -1/2

* L'équation de D est y = 3/4x - 1/2

Droites parallèles

Propriété des droites parallèles

• Si deux droites ont le même coefficient directeur alors elles sont parallèles
Réciproquement
• Si deux droites sont parallèles alors elles ont le même coefficient directeur

Exemples

1- Les droites D : y = -2x + 5 et D' : y = -2x - 1 sont parallèles (a = a' = -2)

2- Déterminer l'équation de la droite D qui passe par A(2 , -5) et qui est parallèle à la droite Æ d'équation y = -2x + 1
méthode :
L'équation de D est de la forme y = ax + b.
Les droites D et Æ sont parallèles, elles ont le même coefficient directeur ; a = 2.
L'équation de D est de la forme y = 2x + b.
Le point A(2 , -5) est sur la droite D , ses coordonnées vérifient l'équation de D, soit :
-5 = 2 x 2 + b
-5 = 4 + b
-5 -4 = b
b = -9

L'équation de D est y = 2x -9

EXERCICE 4 :
1- Soit D1 la droite d'équation y = -2x +3 et D2 la droite d'équation y = 0,5x + 0,5
Construire les droites D1 et D2 dans un même repère orthonormal (O,I,J).
2. Résoudre graphiquement (sans calcul) le système :
y = 0,5x + 0,5 (1)
y = -2x + 3 (2)
Expliquer la méthode.
3. Soit D3 la droite d'équation y = 5/10x - 15
Sans construire D3, a-t-on D1//D3 ? D2//D3 ? D1perpD3 ? D2perpD3?
Justifier.

SOLUTION EXERCICE 4
Construisons les droites D1 et D2 dans un même repère orthonormal (O,I,J).

 

3. Soit D3 la droite d'équation y = 5/10x - 15,
L'équation de D3 peut se simplifier en y = 0,5x - 15.
Les droites D1 et D3 ont le même coefficient directeur, elles sont donc parallèles.
D'autres part, -2 x 0,5 = -1.
Dans un repère orthonormal, si le produit des coefficients directeurs de deux droites est égal à -1 alors ces droites sont perpendiculaires.
D1 et D2 so
2. Résolvons graphiquement le système :
y = 0,5x + 0,5 (1)
y = -2x + 3 (2)

La représentation graphique de l'équation (1) est la droite D1
De même L'équation (2) est l'équation de la droite D2.

La solution du système représente sur le graphique le couple de coordonnées du point d'intersection de D1 et D2.
Soit K(1 ; 1)
Le système a une seule solution, le couple (1 ; 1)

nt donc perpendiculaires de même que D3 et D2.
Finalement :
D1//D3 ?: oui
D2//D3 ? non
D1perpD3 ?non
D2perpD3 ? oui

Droites perpendiculaires

Propriété des droites perpendiculaires

DANS UN REPERE ORTHONORMAL UNIQUEMENT
• Si deux droites sont perpendiculaires alors le produit de leurs coefficients directeurs
est égal à -1.
(Le coefficient de l'une est égal à l'opposé de l'inverse du coefficient de l'autre.)
réciproquement
• Si le produit des coefficients directeurs de deux droites est égal à -1 alors ces deux droites sont perpendiculaires.

Exemple

Dans un repère orthonormal (O ; I ; J) déterminer l'équation de la droite D1 perpendiculaire à la droite D2 d'équation y = -3x + 1 passant par A(1 ; -2)
L'équation de la droite D1 est de la forme y = ax + b.
• Dans un repère orthonormal, si D1 et D2 sont perpendiculaires, alors le produit des coefficients directeurs de deux droites est égal à -1.
le coefficient directeur de D1 est a
le coefficient directeur de D2 est -3

-3 x a = -1;
a = 1/3
D2 : y = 1/3x + b
• A(1 ; -2) est un point de la droite, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite :
-2 = 1/3 x 1 + b
-2 -1/3 = b
-7/3 = b
L'équation de la Droite D1 est y = 1/3x -7/3

Résoudre graphiquement un système

Résoudre graphiquement le système

 

 

La solution du système sera formée par les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
Traçons les droites :

 

Soit C le point d'intersection des deux droites, par lecture graphique : C(2 ; -1)
Vérification :
2 x 2 + 3 x (-1) = 4 - 3 = 1
3 x 2 - 2 x (-1) = 6 + 2 = 8
La solution du système est bien le couple (2 ; -1)

Calculer un coefficient directeur

Soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB)
Le coefficient directeur de la droite (AB) est

Soit C le point d'intersection des deux droites, par lecture graphique : C(2 ; -1)

Vérification :
2 x 2 + 3 x (-1) = 4 - 3 = 1
3 x 2 - 2 x (-1) = 6 + 2 = 8
La solution du système est bien le couple (2 ; -1)

Calculer un coefficient directeur

Soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB)

Le coefficient directeur de la droite (AB) est

 

Par exemple, si A(2 ; -4) et B(3 ; -6) alors

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