Introduction

Si tu ouvres ton dictionnaire de langue française (exemple : Larousse du Collège-le dictionnaire des 11/15 ans. Editions 2006) tu liras : "Raisonnement par récurrence : raisonnement par lequel on étend à une série de termes homogènes la vérité d'une propriété d'au moins deux de ces termes".

On peut, sans trop faire de chichi, l'adopter comme définition. Pas telle quelle, mais en l'adaptant légèrement pour éviter des cas où l'on a étendu "à une série de termes homogènes la vérité d'une propriété d'au moins deux de ces termes" mais où on a abouti à des situations totalement irréelles

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Document

Voir à ce propos dans le document "Au secours...besoin d'un ophtalmo !" ma démonstration du théorème qui dit :

 "Dans toute boîte de crayons prétendûment de couleurs, tous les crayons ont en réalité la même couleur".

Ce théorème nous vient du collègue Marco, professeur de Physique, que je remercie au passage.

Salut Marco !

Je donnerai plutôt comme définition mathématique :

Le raisonnement par récurrence est ce raisonnement par lequel on étend à n'importe quel terme d'une suite de propositions homogènes la vérité du terme précédent ; la première proposition de cette suite étant supposée vraie.

Un exemple : Soit la proposition (écrite en langue française) : "La somme de n nombres entiers impairs consécutifs en commençant par 1 est égale au carré de n ".

Cette proposition produit une suite d'autres propositions "homogènes" dont les énoncés écrits en langage mathématique sont :

Pour la première : "1 = 12 " ; pour la seconde : "1 + 3 = 22 " ; pour la troisième : "1 + 3 + 5 = 32 = 9 ; ... ; pour la pième : "1 + 3 + 5 + ...+ ( 2p-1) = p2  etc...

Je te donne la démonstration par récurrence de cette proposition.

Pour cela je vais procéder par étapes dont les premières sont souvent des simples vérifications mais elles sont obligatoires.

Il se peut d'ailleurs que la proposition soit fausse car non vérifiée lors d'une de ces premières étapes.

Etape1 : Oui,on a bien 1 = 12.On dit : la proposition P(n) est vraie au rang 1 ou que P(1) est vraie.

Etape 2 : P(2) est vraie car 1 + 3 = 4 = 22.

Etape q : Je suppose que la proposition P(n) est vraie au rang q c'est à dire que "la somme des q premiers nombres impairs consécutifs..." est égale à q2.

C'est l'étape appelée "hypothèse de récurrence".

Montrons que la vérité de ce q ième terme de la suite des propositions va être étendue au (q+1) ième terme.

Je te rappelle que le q ième nombre entier impair, en commençant par 1, s'écrit 2(q-1)+ 1 = 2q-1 et  le (q+1) ième nombre impair s'écrit ( 2q-1) + 2 = 2q+1 donc l'hypothèse de récurrence va s'écrire : 1 + 2 + ....+ (2q-1) = q2.

Je dois donc montrer que : "1+3 +....+ (2q-1) + (2q+1) = (q+1)2.

Grace à l'hypothèse de récurrence j'ai :

1 + 3 + ...+ 2q-1 + (2q+1) = q2+ (2q+1) = (q+1)2 donc P(q) est vraie.........................CQFD.

Conclusion : P(n) est vraie quelque soit le rang n où tu es, P(n) est donc vraie pour tout n ou plus simplement : P(n) est toujours vraie.

Exercice 1 : Démontre que la somme de n premiers entiers naturels non nuls est égale au demi-produit n(n+1) c'est-à-dire que : 1 + 2 + .... + n = n(n+1)/2

Exercice 2 : (Re)démontre que le n ième nombre entier impair, en commençant par 1, s'écrit

2n-1

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !