Déterminer si deux entiers sont premiers entre eux

a) On applique les critères de divisibilité (par 2, par 3, par 5, etc.) pour rechercher les diviseurs de chaque nombre.
Ici, la somme des chiffres de 927 et de 225 est divisible par 9, donc ces nombres sont divibles par 9. Ils ont un diviseur commun : 9.
On peut alors dire que ces nombres ne sont pas premiers entre eux.

b) On applique les critères de divisibilité connus mais on ne peut pas conclure.
On utilise l'algorithme d'Euclide par divisions successives (voir Algorithme d'Euclide).
On effectue la division euclidienne de 87 par 34, puis celle de 34 par le reste obtenu, et ansi de suite jusqu'à obtenir un reste nul :

Le nombre 1 est le dernier reste non nul, c'est le seul diviseur commun aux deux nombres. 1 est le PGCD de 87 et 34.
Ces deux nombres sont donc premiers entre eux.

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Simplifier une fraction pour la rendre irréductible

  • On applique les critères de divisibilité connus ; 420 et 2002 sont divisibles par 2 :
  • Pour savoir si les nombres 210 et 1001 sont premiers entre eux, recherchons leur PGCD par la méthode de l'algoriyhme d'Euclide :

Le PGCD de 1001 et de 210 est 7.

  • Simplifions la fraction à l'aide de ce PGCD :

La fraction est irréductible.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !