Une somme d'entiers est dite cool si le premier et le dernier terme sont 1 et si chaque terme diffère de ses voisins d'au plus 1. Par exemple la somme 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 3 + 3 + 3 + 2 + 3 + 3 + 2 + 1 est cool.Combien faut-il des termes pour écrire 2008 comme somme cool en utilisant le moins de termes possible ?

Et voici le corrigé du problème qui pouvait t'aider à répondre à cette question.

Problème

Etant donné n nombres entiers consécutifs (ce sont des nombres qui
diffèrent de leurs voisins d'au plus 1, le suivant étant toujours plus
grand [ou- exclusif- plus petit, si ordre décroissant] que le précédent).

  1. Quelle est la somme de n de tels nombres si le premier est P ?
  2. En utilisant la question 1 démontre que la somme 1 + 2 + .... + (N- 1) + N + (N – 1 ) + (N – 2 ) +....+ 2 + 1 est égale à N2.
  3. Trouve le carré parfait le plus proche de 2008 et qui lui est inférieur.

Pour cela tu devras trouver l'entier naturel P tel que P2 est inférieur ou égal à 2008 et (P+1)2 est strictement supérieur à 2008.

  1. Exprime 73 et 1935 comme sommes cools.
  2. Combien te faut-il de termes pour écrire l'année de ta naissance ?

Réponse

1) P + (P+1) + (P+2) + (P+3) + ...+ (P+n-1) = nP + 1 + 2 + 3 + ....+ n-1 = nP + n(n-1)/2 = n(2P+n-1)/2.

Pour P = 1, on a bien 1 + 2 + 3 +.....+ n = n(n+1)/2 . Résultat que je vais devoir te démontrer quitte à te parler du raisonnement par récurrence qui n'est si difficile que ça à comprendre.

2) En effet 2(1 + 2 + ....+ N-1) + N = 2N(N-1)/2 + N = N2 - N + N = N2 ......CQFD

3) Tu trouves P = 44 car 442 = 1936 et 452 = 2025

1. J'exprime 73 comme somme cool.

73 = 64 + 9 = 82 +4 + 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6+ 7+ 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2+ 1.

Idem j'ai 1935 = 1936 - 1 = 1 + 2 + ....+ 42 + 43 + 44 + 43 + 42 +  ....+ 2 + 1 - 1 = 1 + 2 + .... + 43 + 43 + 43 + 42 + ...+2+1, soit 2x43 + 1 = 87 termes

2. Fais le calcul pour ton année de naissance?

Pour ceux qui sont nés en 2008.

On aura comme somme cool de 2008  = 1936 + 72 = 1936 + 36 + 36 , la somme 1 + 2 + .... + 35 + 36 + 36 + 36 + 37 + ....+ 43 + 44 + 43 + ....+ 2 + 1 constituée de 089 termes.

D'où la réponse que je propose.

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