Les ensembles de définition

Un ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs que prennent x et qui ont une image par la fonction.

Définition de l'ensemble de définition

Afin de définir l'ensemble de définition d'une fonction, on cherche les valeurs de x pour lesquelles f (x) est vraie et existe. Il convient donc de résoudre quelques équations. Celles-ci dépendent de la fonction. Par exemple, pour une fonction racine, le domaine de définition sera celui pour lequel les nombres sous la racine carré sont supérieurs à zéro. Les polynômes du second degré sont quant à eux définis sur l'ensemble des réels, ℝ.

Connaître les fluctuations d'une fonction ainsi que leur signe. Par exemple, ils permettent de faire des calculs prévisionnels ou encore de calculer des prix en économie. Les bornes et limites permettent quant à elles de prévoir des points de chute et des évolutions.

Quelques exemples

Pour finir, voici un tableau récapitulatif des ensembles de définition que vous croiserez le plus souvent :

NotationDéfinition
L’ensemble des réels
+L'ensemble des réels positifs, zéro inclus
+*L'ensemble des réels positifs, zéro exclu
-L'ensemble des réels négatifs, zéro inclus
-*L'ensemble des réels négatifs, zéro exclu
*L'ensemble des réels, zéro exclu
L'ensemble des entiers relatifs
+L'ensemble des entiers relatifs positifs, zéro inclus
+*L'ensemble des entiers relatifs positifs, zéro exclu
-L'ensemble des entiers relatifs négatifs, zéro inclus
-*L'ensemble des entiers relatifs négatifs, zéro exclu
*L'ensemble des entiers relatifs, zéro exclu
L'ensemble des nombres complexes

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Le tableau de signes

Le tableau de signes est le tableau qui reprend les changements de signe d'une fonction. Ceux-ci interviennent lorsque que la fonction a une racine ou touche le zéro. Ce tableau dresse aussi les fluctuations de la courbe autour de l'axe des abscisses : la fonction est positive au dessus et négative en dessous de celui-ci (cour de math).

Méthode

Dresser des tableaux de signes est très simple. Plus vous en fabriquerez plus vous aurez de la facilité à les dresser de manière automatique. De plus, vous verrez qu'il est possible de faire des liens rapides entre les tableaux de signes et les tableaux de variations.

Afin de définir un tableau de signes, on commence par chercher les valeurs pour lesquelles la fonction s'annule. On résout donc f (x) ⁼ 0. La seconde étape consiste à dresser le tableau de signes. On place la solution à l'équation f (x) = 0 sur la première ligne et on met un 0. Pour finir, il ne reste plus qu'à placer les signes + ou - selon du coefficient directeur de la fonction.

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Avec les fonctions dérivées

Il est possible de définir un tableau de signes à l'aide de la fonction dérivée de la fonction dont on veut dresser le tableau.

Méthode de la dérivation

Pour tout réel y et et pour tout entier naturel n, les fonctions suivantes se dérivent selon les formules ci-dessous. y une fois dérivé devient 0. Cette fonction linéaire est définie sur ℝ est son domaine de dérivabilité sera lui aussi ℝ. x dérivé devient 1, toujours défini et dérivable sur ℝ. Dans le cas d'une fonction puissance comme xn où n est supérieur ou égal à 1, la dérivée de la fonction sera nxn-1. Ces deux fonctions sont toujours définies et dérivables sur ℝ. Pour les fonctions racines, elles sont définies sur ℝ* et dérivables sur ℝ*. Pour une fonction de ce type,

    \[ \frac { 1 } { x ^ { n } } \]

la fonction dérivée sera 

    \[ - \frac { n } { x ^ { n + 1 } } \]

Pour la fonction racine carré, définie sur ℝ+, elle sera dérivable sur ℝ*. La fonctionne racine carré de x se dérive en : 

    \[ \frac { 1 } { { 2 \sqrt { x } } } \]

On considère qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I à condition et uniquement si elle est dérivable sur tout réel de cet intervalle. La fonction dérivée de f est alors f'. Cette dernière associe à tout réel x une image f' (x). Si la fonction f est dérivable sur un intervalle I et si f' est également dérivable sur le même intervalle I, alors la dérivée de f', notée f'' et appelée dérivée seconde de f ou dérivée d'ordre 2 de f existe.

Opérations sur les dérivées

Si l'on considère le réel y et u et v deux fonctions quelconques dérivables sur un intervalle I, il est possible de réaliser des opérations sur ces fonctions.

  • y u se dérive en y u' ;
  • u + v se dérive en u' + v' ;
  • u v se dérive en u' v + u v' ;

La fonction 

    \[ \frac { 1 } { u } \]

se dérive en 

    \[ - \frac { u } { u ^ { 2 } } \]

tant que u ne s'annule pas sur l'intervalle concerné. La fonction [ frac { u } { v } ] se dérive en 

    \[ - \frac { u ' v - u v ' } { v ^ { 2 } } \]

tant que v ne s'annule pas sur l'intervalle concerné.

Dérivées partielles d’une fonction à deux variables

Soit D une partie de ℝ². Une fonction f à deux variables réelles définie sur D est un procédé qui à tout couple (x, y) appartenant à D associe un unique réel noté f((x, y)). Le réel f((x, y)) est appelé image du couple (x, y) par f. On ne peut plus parler de dérivée pour une fonction à deux variables, en effet, il faut faire référence à la variable par rapport à laquelle on souhaite dériver. La notion de dérivée partielle apparaît donc naturellement.

Dérivée d'une composée de fonctions

Soient u dérivable sur I et f dérivable sur J. Si u(I) ⊂ J alors la fonction composée f ◦ u est dérivable sur I, on a : [( f circ u ) ' = ( f ' circ u ) times u ']

Le nombre dérivé

En cours de maths terminale s, la fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième forme). Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a , et est notée : [ lim _ { h rightarrow 0 } frac { f ( a + h ) - f ( a ) } { h } = lim _ { x rightarrow a } frac { f ( x ) - f ( a ) } { x - a } = f ' ( a ) ]

Le taux d’accroissement

Considérons une fonction f et un réel a appartenant au domaine de définition de f. Pour tout réel h, non nul, on appelle le taux d’accroissement ou taux de variation de f entre a et a + h. Ce taux se calcule selon la formule suivante : [ frac { f ( a + h ) - f ( a ) } { h } ] En remplaçant a + h par x, on obtient : [ frac { f ( x ) - f ( a ) } { x - a } ]

La tangente à une courbe en un point

Si une fonction f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente au point de coordonnées (a ; f(a) ). Cette tangente non verticale aura pour coefficient directeur f' (a). Voici son équation : [ y = f ' ( a ) ( x - a ) + f ( a ) ]

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Créer le tableau de variation à partir de la fonction dérivée

Une fois la fonction dérivée, il faut essayer de la factoriser en deux membres. Une fois ceux-ci factorisés, il conviendra d'étudier le tableau de signes de chacun des deux membres séparément

Tableau de variation

Le tableau de variation d'une fonction représente les fluctuations de la fonction afin d'aider à sa représentation graphique. Il permet aussi de définir les limites aux bornes de l'ensemble de définitions de la fonction.

Méthodologie du tableau de variation

Il existe plusieurs méthodes pour créer un tableau de variation. On peut le dresser en se référant à la courbe représentative de la fonction. Il faut dans un premier temps repérer les parties croissantes et décroissantes de la courbe. Vous devrez ensuite déterminer les bornes inférieures et supérieures de la fonction. Ne reste plus qu'à remplir le tableau avec des flèches vers le haut quand la courbe est croissante et vers le bas quand la courbe est décroissante.

Voici un exemple de tableau de signe et de tableau de variation pour la fonction f qui a x associe x3 - 12x + 1. On y retrouve donc les racines et les images pour lesquelles la fonction s'annule ou devient nulle.

Exercices

Déterminer l'ensemble de définition et le signe des expressions suivantes, selon x :

a. (x – 5)(2 - x)

b. x(x + 1)

c. x / (x – 3)

d. x² + 2x + 1

e. (x – 5)(x + 2) – 2(x + 1)(x – 5)

f. (x - 2)(x + 3)(x - 10)

Correction de l'exercice

a. (x – 5)(2 – x) L'expression est définie sur R.

b. x(x + 1) L'expression est définie sur R.

c. x / (x – 3) L'expression est définie sur R{-3}.

d. x² + 2x + 1 = (x + 1)² L'expression est définie sur R. Or un carré est toujours positif, ainsi  x² + 2x + 1 > 0 quelque soit x dans R.

e. (x – 5)(x + 2) – 2(x + 1)(x – 5) = (x – 5)(x + 2 – 2x – 2) = -x(x – 5)

f. (x - 2)(x + 3)(x – 10) Cette expression est définie sur R.

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Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.