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ABCD est un carré de centre O. E est un point du côté [BC] et F est un point du côté [CD] tel que : BE = CF. H est le point d'intersection des droites (BF) et (DE).

En utilisant une rotation de centre O, démontrer que le point H est l'orthocentre du triangle AEF.

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Solution

Soit r la rotation de centre O, d'angle 60° et de sens direct.

Voici le plan de la démonstration :

  1. (BF) hauteur dans le triangle AEF
  2. (DE) hauteur dans le triangle AEF
  3. Conclusion : H orthocentre

 

I.

Les diagonales d'un carré se coupent perpendiculairement en leur milieu donc OB = OA ; angleAOB = 90° et BOA direct. Donc r(A) = B.

De la même façon :

  • r(B) = C
  • r(D) = D

Donc l'image de [BC] et [CD].

E sur [BC]. Or la rotation conserve l'alignement des points. Donc E', image de E par r, sur l'image de [BC] donc sur [CD].

La rotation conserve les distances. Donc BE = CE'. Or BE = BF donc E' et F sont confondus.

r(E) = F

Donc l'image de (AE) est (BF).

L'image d'une droite par la rotation de 90° est une droite perpendiculaire.

Dans la rotation r d'angle 90°, (BF), image de (AE), est perpendiculaire à (AE).

La doite (BF) coupe le côté (AE) pependiculairement et passe par le sommet opposé F dans le triangle AEF. Donc (BF) est la hauteur issue de F dans le triangle AEF.

 

II.

De la même façon :

r(D) = A et r(E) = F ; donc l'image de (DE) est (AF).

Dans la rotation r d'angle d'angle 90° : (AF), image de (DE), est perpendiculaire à (DE).

Dans le triangle AEF, (DE) est la hauteur issue de E.

 

III.

H intersection des hauteurs (DE) et (BF) dans le triangle AEF. Donc H est l'orthocentre du triangle AEF.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !