Question

ABCD est un rectangle tel que AB = 10 cm , AD = 4 cm. P est un point du côté [DC] tel que PD = x. Démontrer qu'il existe deux positions du point P sur [DC] tel que le triangle APB soit rectangle en P.

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Indication

On obtiendra une équation d'inconnue x que l'on résoudra après avoir développé l'expression (x - 8)(x - 2).

Correction

- Soit APB triangle rectangle en P (supposé), d'après le théorème de Pythagore, on a :

AB2 = AP2 + BP2

- Soit ADP rectangle en D, d'après le théorème de Pythagore, on a :

AP2 = AD2 + DP2

Ainsi :

AB2 = AD2 + DP2 + BP2

- Soit PBC triangle rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore, on a :

BP2 = PC2 + BC2

Ainsi :

AB2 = AD2 + DP2 + PC2 + BC2

102 = 42 + x2 + (10-x)2 + 42

- Résolution de l'expression (x - 8)(x - 2) :

(x - 8)(x - 2) = x2 - 2x - 8x + 16 = x2 - 10x + 16

- Résolution de l'équation :

102 = 42 + x2 + (10-x)2 + 42

100 = 16 + x2 + 100 - 20x + x2 + 16

0 = 2x2 + 20x + 32

0/2 = 2x2/2 + 20x/2 + 32/2

0 = x2 + 10x + 16

Or (x - 8)(x - 2) = x2 - 10x + 16

Donc :

0 = (x - 8)(x - 2)

Si un produit de facteurs est nul alors l'un au moins des facteurs est nul.

Ainsi :

x - 8 = 0 ou x - 2 = 0

x = 8 ou x = 2

Pour que le triangle APB soit rectangle en P, il faut que PD mesure 8 ou 2 cm.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !