Correction de l'exercice

ABCDE est un pyramide telle que la base BCDE soit un parallélogramme de centre O.

I est milieu du segment [ AS ].
J est milieu du segment [ SB ].

Réponses

1. Préciser en justifiant les intersections :

a) du plan (CBS) et du plan (SAB).

S ∈ (CBS) ; S ∈ (SAB)
B ∈ (CBS) ; B ∈ (SAB)     donc (BS) ⊂ (CBS).
Or A ∉ (CBS). (SAB) et (CBS) sont distincts ; ils sont sécants selon (BS).

b) du plan (SBD) et du plan (SAC).

O ∈ (BD) donc O ∈ (SBD). O ∈ (AC) donc O ∈ (SAC).
S ∈ (SAC) et S ∈ (SBD) ; A ∉ (SBD). Les plans (SBD) et (SAC) sont sécants selon (SO).

c) de la droite (SO) et du plan (BAD).

S ∉ (BAD) ; O ∈ (OS) et O ∈ (BD) donc O ∈ (BAD).
La droite (SO) coupe le plan (BAD) au point O.

d) de la droite (DJ) et de la droite (SO).

J ∈ (BS) donc J ∈ (BSD) ; de même O ∈ (BD) donc O ∈ (BAD).
(DJ) et (SO) sont deux droites du plan SBD. Dans le triangle SBD, ce sont deux médianes qui se coupent donc au centre de gravité du triangle.

2. Démontrer que la droite (IJ) et la droite (CD) sont parallèles.

I milieu de [ AS ] ; J milieu de [ BS ], d'après le théorème des mlilieux dans le triangle SAB, (IJ) // (BA).
ABCD est un parallèlogramme, donc (AB) // (CD).

(AB) // (CD)
(AB) // (IJ)       donc (IJ) // (CD).

En déduire l'intersection des plans (ABS) et (CID).

(IJ) // (CD) donc J ∈ (CID) ; (IJ) ⊂ (CID) et (IJ) ⊂ (ABS), (ABS) et (CID) sont deux plans distincts (car C ∉ (ABS)) sécants selon (IJ).

3. Démontrer que la droite (IJ) et le plan (ABC) sont parallèles.

(IJ) // (BC) donc (IJ) // (BCD).
En effet : une droite (d) et un plan sont parallèles s'il existe un droite (d') du plan parallèle à (d).

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