Exercice 1

Soit ABC un triangle non aplati.
Soit A’, B’, C’ les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB].
Soit G le point d’intersection des droites (BB’) et (CC’).
Soit B1 le symétrique de G par rapport à B’ et C1 le symétrique de G par rapport a C’.

1.Démontrer que les quadrilatères GCB1A, GBC1A et GB1AC1 sont des parallélogrammes. Alors pour les deux premiers, je les ai réussi. C'est juste GB1Ac1 que je n'arrive pas ! je vois pas comment montrer que les droites sont parallèles et ainsi prouver qu'il s'agit d'un parallélogramme

2. Démontrer les égalités suivantes
a)vecteur GA + vecteur GC = vecteur GB1
b)vecteur GA + vecteur GB = vecteur GC1
c) vecteur GB1 + vecteur GC1 = vecteur GA.

3.En déduire que vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC = vecteur nul.

4.Démontrer que G appartient a (AA’).
Que peut-on dire pour G ?

5.Démontrer que, pour tout point M du plan, on a :
vecteur MA + vecteur MB + vecteur MC = 3 vecteur MG

6.Montrer que G est le centre de gravité du triangle A’B’C’

7. Soit A » l’intersection d (AA’) avec [B’C’],
B » l’intersection de (BB’) avec [A’C’]
et C » l’intersection de (CC’) avec [A’B’]
a) Montrer que A » est le milieu de [B’C’]
b) Montrer que B » est le milieu de [A’C’]
c) Montrer que C » est le milieu de [A’B’]

8. Que peut-on dire de G pour le triangle A »B »C » ?

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Corrigé de l'exercice 1

1. Démontrons que les quadrilatères GCB1A, GBC1A et GB1AC1 sont des parallélogrammes.

  • D'après les hypothèses : B' est le milieu de [CA] donc CB'=B'A ; B1 est le symétrique de G par rapport à B' donc GB'=B'B1.

Dans le quadrilatère GCB1A ,

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !